Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3927
2019-07-03 
Дан угол с вершиной $O$ и окружность, касающаяся его сторон в точках $A$ и $B$. Из точки $A$ параллельно $OB$ проведён луч, пересекающий окружность в точке $C$. $OC$ пересекает окружность в точке $E$. Прямые $AE$ и $OB$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что $OK=KB$.
Решение:
Треугольники $KOA$ и $KEO$ подобны по двум углам $(\angle EOK=\angle ACE=\angle OAK)$. Поэтому $\frac{KE}{OK}=\frac{OK}{AK}$. Отсюда следует, что $OK^{2}=EK\cdot AK$. С другой стороны, по теореме о касательной и секущей $EK\cdot AK=KB^{2}$. Следовательно, $OK=KB$.
Дан угол с вершиной $O$ и окружность, касающаяся его сторон в точках $A$ и $B$. Из точки $A$ параллельно $OB$ проведён луч, пересекающий окружность в точке $C$. $OC$ пересекает окружность в точке $E$. Прямые $AE$ и $OB$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что $OK=KB$.
Решение:
Треугольники $KOA$ и $KEO$ подобны по двум углам $(\angle EOK=\angle ACE=\angle OAK)$. Поэтому $\frac{KE}{OK}=\frac{OK}{AK}$. Отсюда следует, что $OK^{2}=EK\cdot AK$. С другой стороны, по теореме о касательной и секущей $EK\cdot AK=KB^{2}$. Следовательно, $OK=KB$.
