Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3926
2019-07-03 
Из точки $M$, лежащей вне окружности, проведены к этой окружности две касательные. Расстояния от точки $C$, лежащей на окружности, до касательных равны $a$ и $b$. Найдите расстояние от точки $C$ до прямой $AB$, где $A$ и $B$ - точки касания.
Решение:
Пусть $P$, $Q$, $N$ - основания перпендикуляров, опущенных из точки $C$ на прямые $MA$, $MB$, $AB$ соответственно. Докажем, что треугольник $PCN$ подобен треугольнику $NCQ$.
Действительно, отрезок $AC$ виден из точек $P$ и $N$ под прямым углом. Значит, точки $P$ и $N$ лежат на окружности с диаметром $AC$. Точки $N$ и $Q$ лежат на окружности с диаметром $BC$. Поэтому $\angle CPN=\angle CAN=\angle CAB$, а из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что $\angle CAB=\angle CBQ=\angle CNQ$. Аналогично $\angle CNP=\angle CQN$. Значит, треугольники $PCN$ и $NCQ$ подобны по двум углам. Следовательно, $\frac{CN}{CQ}=\frac{CP}{CN}$. Поэтому
$CN^{2}=CP\cdot CQ=ab.$
Из точки $M$, лежащей вне окружности, проведены к этой окружности две касательные. Расстояния от точки $C$, лежащей на окружности, до касательных равны $a$ и $b$. Найдите расстояние от точки $C$ до прямой $AB$, где $A$ и $B$ - точки касания.
Решение:
Пусть $P$, $Q$, $N$ - основания перпендикуляров, опущенных из точки $C$ на прямые $MA$, $MB$, $AB$ соответственно. Докажем, что треугольник $PCN$ подобен треугольнику $NCQ$.
Действительно, отрезок $AC$ виден из точек $P$ и $N$ под прямым углом. Значит, точки $P$ и $N$ лежат на окружности с диаметром $AC$. Точки $N$ и $Q$ лежат на окружности с диаметром $BC$. Поэтому $\angle CPN=\angle CAN=\angle CAB$, а из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что $\angle CAB=\angle CBQ=\angle CNQ$. Аналогично $\angle CNP=\angle CQN$. Значит, треугольники $PCN$ и $NCQ$ подобны по двум углам. Следовательно, $\frac{CN}{CQ}=\frac{CP}{CN}$. Поэтому
$CN^{2}=CP\cdot CQ=ab.$
