Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3925
2019-07-03 
В окружность радиуса 2 вписан правильный шестиугольник $ABCDEF$. Из точки $K$, лежащей на продолжении стороны $AF$ так, что $KA\lt KF$ и $KA=\sqrt{11}-1$, проведена секущая $KH$, пересекающая окружность в точках $N$ и $H$. Известно, что внешняя часть секущей $KN$ равна 2 $(KN=2)$, а угол $NFH$ - тупой. Найдите угол $HKF$.
Решение:
Первый способ. Пусть $O$ - центр окружности; $P$, $Q$ - середины хорд $NH$ и $AF$. Поскольку $KA\cdot FK=KN\cdot KH$, то
$(\sqrt{11}-1)(\sqrt{11}+1)=2(2+NH).$
Отсюда находим, что $NH=3$, $KH=KN+NH=5$.
Из прямоугольных треугольников $HPO$ и $FQO$ находим, что
$OP=\sqrt{OH^{2}-PH^{2}}=\sqrt{4-\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2},$
$OQ=\sqrt{OA^{2}-AQ^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3},$
Выразим с помощью теоремы косинусов отрезок $PQ$ из треугольников $KPQ$ и $OPQ$ и решим полученное уравнение относительно косинуса искомого угла.
Обозначим $\angle PKQ=\angle POQ=\varphi$. Тогда
$KP^{2}+KQ^{2}-2KP\cdot KQ\cos\varphi=OP^{2}+OQ^{2}-2OP\cdot OQ\cos\varphi.$
Следовательно,
$\cos\varphi=\frac{KP^{2}+KQ^{2}-OP^{2}-OQ^{2}}{2(KP\cdot KQ-OP\cdot OQ)}=\frac{\frac{49}{4}+11-\frac{7}{4}-3}{2\left(\frac{7}{2}\cdot\sqrt{11}-\frac{\sqrt{7}}{2}\cdot\sqrt{3}\right)}=\frac{37}{2(7\sqrt{11}-\sqrt{21})}=\frac{7\sqrt{11}+\sqrt{21}}{28}.$
Второй способ. Пусть $O$ - центр окружности; $P$, $Q$ - середины хорд $NH$ и $AF$. Поскольку $KA\cdot FK=KN\cdot KH$, то
$(\sqrt{11}-1)(\sqrt{11}+1)=2(2+NH).$
Отсюда находим, что $NH=3$, $KH=KN+NH=5$. Далее последовательно находим:
$OP=\sqrt{OH^{2}-PH^{2}}=\sqrt{4-\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2},$
$OQ=\sqrt{OA^{2}-AQ^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3},~$
$OK=\sqrt{OQ^{2}+KQ^{2}}=\sqrt{3+11}=\sqrt{14},$
$\sin\angle QKO=\frac{OQ}{OK}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{14}},~\sin\angle PKO=\frac{OP}{OK}=\frac{1}{2\sqrt{2}},~$
$\cos\angle QKO=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{14}},~\cos\angle PKO=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}.$
Следовательно,
$\sin\angle HKF=\sin(\angle QKO-\angle PKO)=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{14}}\cdot\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{14}}=\frac{7\sqrt{3}-\sqrt{77}}{28}.$
В окружность радиуса 2 вписан правильный шестиугольник $ABCDEF$. Из точки $K$, лежащей на продолжении стороны $AF$ так, что $KA\lt KF$ и $KA=\sqrt{11}-1$, проведена секущая $KH$, пересекающая окружность в точках $N$ и $H$. Известно, что внешняя часть секущей $KN$ равна 2 $(KN=2)$, а угол $NFH$ - тупой. Найдите угол $HKF$.
Решение:
Первый способ. Пусть $O$ - центр окружности; $P$, $Q$ - середины хорд $NH$ и $AF$. Поскольку $KA\cdot FK=KN\cdot KH$, то
$(\sqrt{11}-1)(\sqrt{11}+1)=2(2+NH).$
Отсюда находим, что $NH=3$, $KH=KN+NH=5$.
Из прямоугольных треугольников $HPO$ и $FQO$ находим, что
$OP=\sqrt{OH^{2}-PH^{2}}=\sqrt{4-\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2},$
$OQ=\sqrt{OA^{2}-AQ^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3},$
Выразим с помощью теоремы косинусов отрезок $PQ$ из треугольников $KPQ$ и $OPQ$ и решим полученное уравнение относительно косинуса искомого угла.
Обозначим $\angle PKQ=\angle POQ=\varphi$. Тогда
$KP^{2}+KQ^{2}-2KP\cdot KQ\cos\varphi=OP^{2}+OQ^{2}-2OP\cdot OQ\cos\varphi.$
Следовательно,
$\cos\varphi=\frac{KP^{2}+KQ^{2}-OP^{2}-OQ^{2}}{2(KP\cdot KQ-OP\cdot OQ)}=\frac{\frac{49}{4}+11-\frac{7}{4}-3}{2\left(\frac{7}{2}\cdot\sqrt{11}-\frac{\sqrt{7}}{2}\cdot\sqrt{3}\right)}=\frac{37}{2(7\sqrt{11}-\sqrt{21})}=\frac{7\sqrt{11}+\sqrt{21}}{28}.$
Второй способ. Пусть $O$ - центр окружности; $P$, $Q$ - середины хорд $NH$ и $AF$. Поскольку $KA\cdot FK=KN\cdot KH$, то
$(\sqrt{11}-1)(\sqrt{11}+1)=2(2+NH).$
Отсюда находим, что $NH=3$, $KH=KN+NH=5$. Далее последовательно находим:
$OP=\sqrt{OH^{2}-PH^{2}}=\sqrt{4-\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2},$
$OQ=\sqrt{OA^{2}-AQ^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3},~$
$OK=\sqrt{OQ^{2}+KQ^{2}}=\sqrt{3+11}=\sqrt{14},$
$\sin\angle QKO=\frac{OQ}{OK}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{14}},~\sin\angle PKO=\frac{OP}{OK}=\frac{1}{2\sqrt{2}},~$
$\cos\angle QKO=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{14}},~\cos\angle PKO=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}.$
Следовательно,
$\sin\angle HKF=\sin(\angle QKO-\angle PKO)=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{14}}\cdot\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{14}}=\frac{7\sqrt{3}-\sqrt{77}}{28}.$
