Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3923
2019-07-03 
Противоположные стороны четырёхугольника, вписанного в окружность, пересекаются в точках $P$ и $Q$. Найдите $PQ$, если касательные к окружности, проведённые из точек $P$ и $Q$, равны $a$ и $b$.
Решение:
Пусть $DA$ и $CB$ пересекаются в точке $Q$, $BA$ и $CD$ - в точке $P$, а окружность, описанная около треугольника $ABQ$, пересекает отрезок $PQ$ в точке $M$.
Поскольку
$\angle BMP=180^{\circ}-\angle BMQ=180^{\circ}-\angle BAQ=180^{\circ}-\angle BCD=180^{\circ}-\angle BCP,$
то около четырёхугольника $CBMP$ можно описать окружность. Тогда
$QM\cdot QP=QC\cdot QB=QA\cdot QD=b^{2},~PM\cdot PQ=PA\cdot PB=PC\cdot PD=a^{2}.$
Сложив почленно эти равенства, получим, что
$a^{2}+b^{2}=QM\cdot QP+PM\cdot PQ=PQ(QM+PM)=PQ^{2}.$
Противоположные стороны четырёхугольника, вписанного в окружность, пересекаются в точках $P$ и $Q$. Найдите $PQ$, если касательные к окружности, проведённые из точек $P$ и $Q$, равны $a$ и $b$.
Решение:
Пусть $DA$ и $CB$ пересекаются в точке $Q$, $BA$ и $CD$ - в точке $P$, а окружность, описанная около треугольника $ABQ$, пересекает отрезок $PQ$ в точке $M$.
Поскольку
$\angle BMP=180^{\circ}-\angle BMQ=180^{\circ}-\angle BAQ=180^{\circ}-\angle BCD=180^{\circ}-\angle BCP,$
то около четырёхугольника $CBMP$ можно описать окружность. Тогда
$QM\cdot QP=QC\cdot QB=QA\cdot QD=b^{2},~PM\cdot PQ=PA\cdot PB=PC\cdot PD=a^{2}.$
Сложив почленно эти равенства, получим, что
$a^{2}+b^{2}=QM\cdot QP+PM\cdot PQ=PQ(QM+PM)=PQ^{2}.$
