Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3922
2019-07-03 
Через данную точку проведите окружность, касающуюся данной прямой и данной окружности.
Решение:
Первый способ. Предположим, что задача решена. Пусть $Q$ - точка касания окружностей, $A_{1}$ - точка касания построенной окружности и данной прямой, $O$ - центр данной окружности, $O_{1}$ - центр построенной окружности, $M$ - данная точка, $AP$ - диаметр данной окружности, перпендикулярный данной прямой, $K$ - точка пересечения его продолжения с данной прямой, $P$ лежит между $A$ и $K$.
Заметим, что точки $A$, $Q$ и $A_{1}$ лежат на одной прямой. Из подобия прямоугольных треугольников $AQP$ и $AKA_{1}$ следует, что
$AK\cdot AP=AQ\cdot AA_{1}.$
Пусть $T$ - вторая точка пересечения прямой $AM$ с построенной окружностью. Тогда
$AQ\cdot AA_{1}=AM\cdot AT.$
Поэтому
$AK\cdot AP=AM\cdot AT.$
Следовательно, точки $P$, $K$, $M$ и $T$ лежат на одной окружности (см. задачу @H114).
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим окружность, проходящую через точки $M$, $K$ и $P$. Если прямая $AM$ пересекает эту окружность в точке $T$, отличной от точки $M$, то задача сводится к построению окружности, проходящей через точки $M$ и $T$ и касающейся данной окружности.
Если данные точка и окружность расположены по одну сторону от данной прямой и точка лежит вне окружности, то задача имеет четыре решения.
Второй способ. Пусть $M$ - данная точка, $l$ - данная прямая, $S$ - данная окружность.
Предположим, что искомая окружность $\Omega$ построена. При инверсии относительно произвольной окружности с центром $M$ прямая $l$, не проходящая через центр инверсии, перейдёт в окружность $l'$, окружность $S$, не проходящая через центр инверсии, - в окружность $S'$, а окружность $\Omega$, проходящая через центр инверсии, - в прямую $\Omega'$, касающуюся окружностей $l'$ и $S'$.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим образы $l'$ и $S'$ данных прямой $l$ и окружности $S$ при инверсии относительно некоторой окружности с центром в данной точке $M$, а затем проводим общие касательные к окружностям $l'$ и $S'$. Образы этих касательных при той же инверсии есть искомые окружности.
Если данные точка и окружность расположены по одну сторону от данной прямой и точка лежит вне окружности, то задача имеет четыре решения.
Через данную точку проведите окружность, касающуюся данной прямой и данной окружности.
Решение:
Первый способ. Предположим, что задача решена. Пусть $Q$ - точка касания окружностей, $A_{1}$ - точка касания построенной окружности и данной прямой, $O$ - центр данной окружности, $O_{1}$ - центр построенной окружности, $M$ - данная точка, $AP$ - диаметр данной окружности, перпендикулярный данной прямой, $K$ - точка пересечения его продолжения с данной прямой, $P$ лежит между $A$ и $K$.
Заметим, что точки $A$, $Q$ и $A_{1}$ лежат на одной прямой. Из подобия прямоугольных треугольников $AQP$ и $AKA_{1}$ следует, что
$AK\cdot AP=AQ\cdot AA_{1}.$
Пусть $T$ - вторая точка пересечения прямой $AM$ с построенной окружностью. Тогда
$AQ\cdot AA_{1}=AM\cdot AT.$
Поэтому
$AK\cdot AP=AM\cdot AT.$
Следовательно, точки $P$, $K$, $M$ и $T$ лежат на одной окружности (см. задачу @H114).
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим окружность, проходящую через точки $M$, $K$ и $P$. Если прямая $AM$ пересекает эту окружность в точке $T$, отличной от точки $M$, то задача сводится к построению окружности, проходящей через точки $M$ и $T$ и касающейся данной окружности.
Если данные точка и окружность расположены по одну сторону от данной прямой и точка лежит вне окружности, то задача имеет четыре решения.
Второй способ. Пусть $M$ - данная точка, $l$ - данная прямая, $S$ - данная окружность.
Предположим, что искомая окружность $\Omega$ построена. При инверсии относительно произвольной окружности с центром $M$ прямая $l$, не проходящая через центр инверсии, перейдёт в окружность $l'$, окружность $S$, не проходящая через центр инверсии, - в окружность $S'$, а окружность $\Omega$, проходящая через центр инверсии, - в прямую $\Omega'$, касающуюся окружностей $l'$ и $S'$.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим образы $l'$ и $S'$ данных прямой $l$ и окружности $S$ при инверсии относительно некоторой окружности с центром в данной точке $M$, а затем проводим общие касательные к окружностям $l'$ и $S'$. Образы этих касательных при той же инверсии есть искомые окружности.
Если данные точка и окружность расположены по одну сторону от данной прямой и точка лежит вне окружности, то задача имеет четыре решения.
