Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3921
2019-07-03 
Точки $A_{1}$ и $B_{1}$ принадлежат сторонам соответственно $OA$ и $OB$ угла $AOB$, не равного $180^{\circ}$, и $OA\cdot OA_{1}=OB\cdot OB_{1}$. Докажите, что точки $A$, $B$, $A_{1}$, $B_{1}$ принадлежат одной окружности.
Решение:
Первый способ. Проведём окружность через точки $A$, $B$ и $B_{1}$. Если $A_{2}$ - точка пересечения прямой $OA$ с окружностью, отличная от $A$, то
$OA_{2}\cdot OA=OB_{1}\cdot OB=OA_{1}\cdot OA.$
Значит, точки $A_{1}$ и $A_{2}$ совпадают. Следовательно, точка $A_{1}$ также лежит на проведённой окружности.
Второй способ. Из условия задачи следует, что $\frac{OA}{OB}=\frac{OB_{1}}{OA_{1}}$, поэтому треугольники $AOB$ и $B_{1}OA_{1}$ подобны. Значит,
$\angle A_{1}B_{1}O=\angle OAB~\Rightarrow~\angle BAA_{1}+\angle BB_{1}A_{1}=(180^{\circ}-\angle OAB)+\angle A_{1}B_{1}O=180^{\circ}.$
Следовательно, около четырёхугольника $AA_{1}B_{1}B$ можно описать окружность, т.е. точки $A$, $B$, $A_{1}$, $B_{1}$ лежат на одной окружности.
Точки $A_{1}$ и $B_{1}$ принадлежат сторонам соответственно $OA$ и $OB$ угла $AOB$, не равного $180^{\circ}$, и $OA\cdot OA_{1}=OB\cdot OB_{1}$. Докажите, что точки $A$, $B$, $A_{1}$, $B_{1}$ принадлежат одной окружности.
Решение:
Первый способ. Проведём окружность через точки $A$, $B$ и $B_{1}$. Если $A_{2}$ - точка пересечения прямой $OA$ с окружностью, отличная от $A$, то
$OA_{2}\cdot OA=OB_{1}\cdot OB=OA_{1}\cdot OA.$
Значит, точки $A_{1}$ и $A_{2}$ совпадают. Следовательно, точка $A_{1}$ также лежит на проведённой окружности.
Второй способ. Из условия задачи следует, что $\frac{OA}{OB}=\frac{OB_{1}}{OA_{1}}$, поэтому треугольники $AOB$ и $B_{1}OA_{1}$ подобны. Значит,
$\angle A_{1}B_{1}O=\angle OAB~\Rightarrow~\angle BAA_{1}+\angle BB_{1}A_{1}=(180^{\circ}-\angle OAB)+\angle A_{1}B_{1}O=180^{\circ}.$
Следовательно, около четырёхугольника $AA_{1}B_{1}B$ можно описать окружность, т.е. точки $A$, $B$, $A_{1}$, $B_{1}$ лежат на одной окружности.
