Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3919
2019-07-03 
С помощью циркуля и линейки постройте окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой.
Решение:
Первый способ. Пусть $A$ и $B$ - данные точки, $M$ - точка пересечения прямой $AB$ с данной прямой, $K$ - искомая точка касания. По теореме о касательной и секущей $MK=\sqrt{MB\cdot MA}$.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим отрезок, равный среднему геометрическому известных отрезков $MB$ и $MA$, и откладываем его по разные стороны от точки $M$ на данной прямой. Пусть $MP$ - один из таких отрезков. Опишем окружность около треугольника $ABP$. Докажем, что эта окружность - искомая. Действительно, по построению она проходит через точки $A$ и $B$ и, кроме того, $MP^{2}=MA\cdot MB$. Если $P_{1}$ - ещё одна общая точка данной прямой и построенной окружности, то
$MP\cdot(MP\pm PP_{1})=MA\cdot MB=MP^{2}.$
Поэтому точки $P$ и $P_{1}$ совпадают. Следовательно, окружность, проходящая через точки $A$, $B$ и $P$, касается данной прямой. Аналогично для второго отрезка.
Если точки $A$ и $B$ расположены по одну сторону от данной прямой и удалены от неё на разные расстояния, то задача имеет два решения, если на равные - одно решение. В остальных случаях решений нет.
Второй способ. Пусть $A$ и $B$ - данные точки, $l$ - данная прямая, $K$ - искомая точка касания. Рассмотрим случай, когда ни $A$, ни $B$ не лежат на прямой $l$.
При инверсии относительно произвольной окружности с центром $A$, прямая $AB$, проходящая через центр инверсии, перейдёт в себя, точка $B$ перейдёт в точку $B'$, лежащую на этой прямой, прямая $l$, не проходящая через центр инверсии, - в окружность $l'$, проходящую через центр инверсии, т.е. через точку $A$, а искомая окружность - в прямую, касающуюся окружности $l'$.
Заметим, что точку $B'$ и окружность $l'$ можно построить с помощью циркуля и линейки, т.к. можно построить образ любой точки при инверсии относительно любой окружности.
Если точка $B'$ не лежит внутри окружности $l'$, то проведём через точку $B'$ касательную к этой окружности. При рассматриваемой инверсии эта касательная перейдёт в окружность, проходящую через точки $A$ и $B$ и касающуюся прямой $l'$.
Если точка $B'$ лежит внутри окружности $l'$, задача не имеет решений. Если точка $B'$ лежит на окружности $l'$, задача имеет единственное решение. Если точка $B'$ лежит вне окружности $l'$, задача имеет ровно два решения.
С помощью циркуля и линейки постройте окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой.
Решение:
Первый способ. Пусть $A$ и $B$ - данные точки, $M$ - точка пересечения прямой $AB$ с данной прямой, $K$ - искомая точка касания. По теореме о касательной и секущей $MK=\sqrt{MB\cdot MA}$.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим отрезок, равный среднему геометрическому известных отрезков $MB$ и $MA$, и откладываем его по разные стороны от точки $M$ на данной прямой. Пусть $MP$ - один из таких отрезков. Опишем окружность около треугольника $ABP$. Докажем, что эта окружность - искомая. Действительно, по построению она проходит через точки $A$ и $B$ и, кроме того, $MP^{2}=MA\cdot MB$. Если $P_{1}$ - ещё одна общая точка данной прямой и построенной окружности, то
$MP\cdot(MP\pm PP_{1})=MA\cdot MB=MP^{2}.$
Поэтому точки $P$ и $P_{1}$ совпадают. Следовательно, окружность, проходящая через точки $A$, $B$ и $P$, касается данной прямой. Аналогично для второго отрезка.
Если точки $A$ и $B$ расположены по одну сторону от данной прямой и удалены от неё на разные расстояния, то задача имеет два решения, если на равные - одно решение. В остальных случаях решений нет.
Второй способ. Пусть $A$ и $B$ - данные точки, $l$ - данная прямая, $K$ - искомая точка касания. Рассмотрим случай, когда ни $A$, ни $B$ не лежат на прямой $l$.
При инверсии относительно произвольной окружности с центром $A$, прямая $AB$, проходящая через центр инверсии, перейдёт в себя, точка $B$ перейдёт в точку $B'$, лежащую на этой прямой, прямая $l$, не проходящая через центр инверсии, - в окружность $l'$, проходящую через центр инверсии, т.е. через точку $A$, а искомая окружность - в прямую, касающуюся окружности $l'$.
Заметим, что точку $B'$ и окружность $l'$ можно построить с помощью циркуля и линейки, т.к. можно построить образ любой точки при инверсии относительно любой окружности.
Если точка $B'$ не лежит внутри окружности $l'$, то проведём через точку $B'$ касательную к этой окружности. При рассматриваемой инверсии эта касательная перейдёт в окружность, проходящую через точки $A$ и $B$ и касающуюся прямой $l'$.
Если точка $B'$ лежит внутри окружности $l'$, задача не имеет решений. Если точка $B'$ лежит на окружности $l'$, задача имеет единственное решение. Если точка $B'$ лежит вне окружности $l'$, задача имеет ровно два решения.
