Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3918
2019-07-03 
Медианы $AM$ и $BE$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Точки $O$, $M$, $E$, $C$ лежат на одной окружности. Найдите $AB$, если $BE=AM=3$.
Решение:
Поскольку $OE=\frac{1}{3}BE$ и $OM=\frac{1}{3}AM$, то $OE=OM$. Поэтому $CO$ - биссектриса угла $ECM$.
Из равенства медиан $BE$ и $AM$ следует, что треугольник $ABC$ - равнобедренный. Поэтому $EC=CM$. Тогда треугольники $CEO$ и $CMO$ равны, а т.к.
$\angle CEO+\angle CMO=180^{\circ},$
то
$\angle CEO=\angle CMO=90^{\circ},$
т.е. медианы $AM$ и $BE$ являются высотами. Поэтому треугольник $ABC$ - равносторонний. Следовательно,
$AB=\frac{AM}{\sin60^{\circ}}=2\sqrt{3}.$
Медианы $AM$ и $BE$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Точки $O$, $M$, $E$, $C$ лежат на одной окружности. Найдите $AB$, если $BE=AM=3$.
Решение:
Поскольку $OE=\frac{1}{3}BE$ и $OM=\frac{1}{3}AM$, то $OE=OM$. Поэтому $CO$ - биссектриса угла $ECM$.
Из равенства медиан $BE$ и $AM$ следует, что треугольник $ABC$ - равнобедренный. Поэтому $EC=CM$. Тогда треугольники $CEO$ и $CMO$ равны, а т.к.
$\angle CEO+\angle CMO=180^{\circ},$
то
$\angle CEO=\angle CMO=90^{\circ},$
т.е. медианы $AM$ и $BE$ являются высотами. Поэтому треугольник $ABC$ - равносторонний. Следовательно,
$AB=\frac{AM}{\sin60^{\circ}}=2\sqrt{3}.$
