Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3915
2019-07-03 
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=\sqrt{14}$ и $BC=2$. Окружность проведена через точку $B$, через середину $D$ отрезка $BC$, через точку $E$ на отрезке $AB$ и касается стороны $AC$. Найдите отношение, в котором эта окружность делит отрезок $AB$, если $DE$ - диаметр этой окружности.
Решение:
Поскольку $ED$ - диаметр окружности, то $\angle B=90^{\circ}$. Поэтому
$AC=\sqrt{BC^{2}+AB^{2}}=3\sqrt{2}.$
Пусть $P$ - точка касания окружности с гипотенузой $AC$. Тогда
$PC^{2}=CB\cdot CD=2,~PC=\sqrt{2},~AP=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2},$
$AB\cdot AE=AP^{2},~\mbox{или}\sqrt{14}(\sqrt{14}-BE)=8.$
Отсюда находим, что
$BE=\frac{3\sqrt{14}}{7},~AE=\sqrt{14}-\frac{3\sqrt{14}}{7}=\frac{4\sqrt{14}}{7},~\frac{AE}{BE}=\frac{4}{3}.$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=\sqrt{14}$ и $BC=2$. Окружность проведена через точку $B$, через середину $D$ отрезка $BC$, через точку $E$ на отрезке $AB$ и касается стороны $AC$. Найдите отношение, в котором эта окружность делит отрезок $AB$, если $DE$ - диаметр этой окружности.
Решение:
Поскольку $ED$ - диаметр окружности, то $\angle B=90^{\circ}$. Поэтому
$AC=\sqrt{BC^{2}+AB^{2}}=3\sqrt{2}.$
Пусть $P$ - точка касания окружности с гипотенузой $AC$. Тогда
$PC^{2}=CB\cdot CD=2,~PC=\sqrt{2},~AP=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2},$
$AB\cdot AE=AP^{2},~\mbox{или}\sqrt{14}(\sqrt{14}-BE)=8.$
Отсюда находим, что
$BE=\frac{3\sqrt{14}}{7},~AE=\sqrt{14}-\frac{3\sqrt{14}}{7}=\frac{4\sqrt{14}}{7},~\frac{AE}{BE}=\frac{4}{3}.$
