Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3913
2019-07-03 
Две окружности радиусов $r$ и $R$ ($r\lt R$) касаются друг друга внешним образом. Прямая касается этих окружностей в точках $M$ и $N$. В точках $A$ и $B$ окружности касаются внешним образом третьей окружности. Прямые $AB$ и $MN$ пересекаются в точке $C$. Из точки $C$ проведена касательная к третьей окружности ($D$ - точка касания). Найдите $CD$.
Решение:
Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей радиусов $r$ и $R$ соответственно, $O_{3}$ - центр третьей окружности, $K$ - вторая точка пересечения прямой $AC$ с первой окружностью, $P$ - точка касания двух первых окружностей.
Поскольку эти окружности касаются, то точка $P$ лежит на прямой $O_{1}O_{2}$. Докажем, что точка пересечения прямых $MN$ и $AB$ также лежит на прямой $O_{1}O_{2}$.
Пусть прямая $MN$ пересекает прямую $O_{1}O_{2}$ в точке $C'$. Если $Q$ - проекция точки $O_{1}$ на $O_{2}N$, то треугольник $O_{1}MC'$ подобен треугольнику $O_{2}QO_{1}$ с коэффициентом
$\frac{O_{1}M}{O_{2}Q}=\frac{O_{1}M}{O_{2}N-NQ}=\frac{O_{1}M}{O_{2}N-O_{1}M}=\frac{r}{R-r}.$
Поэтому
$C'O_{1}=\frac{r}{R-r}\cdot O_{1}O_{2}=\frac{r}{R-r}\cdot(R+r)=\frac{r(R+r)}{R-r}.$
Пусть прямая $AB$ пересекает прямую $O_{1}O_{2}$ в точке $C''$. Поскольку точка $A$ лежит на отрезке $O_{1}O_{3}$, а точка $B$ - на $O_{2}O_{3}$, то
$\angle O_{1}KA=\angle O_{1}AK=\angle O_{3}AB=\angle O_{3}BA=\angle O_{2}BF,$
где $F$ - вторая точка пересечения прямой $AB$ и окружности с центром $O_{2}$. Поэтому $KO_{1}\parallel BO_{2}$. Пусть прямая, проходящая через точку $O_{1}$ параллельно $AB$, пересекает радиус $O_{2}B$ в точке $L$. Тогда треугольник $O_{1}KC''$ подобен треугольнику $O_{2}LO_{1}$ с коэффициентом
$\frac{O_{1}K}{O_{2}L}=\frac{O_{1}K}{O_{2}B-BL}=\frac{O_{1}K}{O_{2}B-O_{1}K}=\frac{r}{R-r}.$
Поэтому
$C''O_{1}=\frac{r}{R-r}\cdot O_{1}O_{2}=\frac{r}{R-r}\cdot(R+r)=\frac{r(R+r)}{R-r}.$
Таким образом, $C'O_{1}=C''O_{1}$. Значит, точки $C'$ и $C''$ совпадают. Следовательно, прямые $MN$ и $AB$ пересекаются на прямой $O_{1}O_{2}$.
Теперь найдём $CD$. Для этого сначала заметим, что точки $A$, $P$ и $B$ на сторонах треугольника $O_{1}O_{2}O_{3}$ таковы, что
$O_{1}A=O_{1}P,~O_{2}B=O_{2}P,~O_{3}A=O_{3}B.$
Значит, в этих точках вписанная окружность треугольника $O_{1}O_{2}O_{3}$ касается его сторон (см. задачу @H4728). Поскольку $CP$ - касательная к этой окружности, $CD$ - касательная к окружности с центром $O_{3}$, а $CAB$ - общая секущая этих окружностей, то
$CD^{2}=CA\cdot CB=CP^{2}$
Следовательно,
$CD=CP=CO_{1}+O_{1}P=\frac{r(R+r)}{R-r}+r=\frac{2rR}{R-r}.$
Две окружности радиусов $r$ и $R$ ($r\lt R$) касаются друг друга внешним образом. Прямая касается этих окружностей в точках $M$ и $N$. В точках $A$ и $B$ окружности касаются внешним образом третьей окружности. Прямые $AB$ и $MN$ пересекаются в точке $C$. Из точки $C$ проведена касательная к третьей окружности ($D$ - точка касания). Найдите $CD$.
Решение:
Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей радиусов $r$ и $R$ соответственно, $O_{3}$ - центр третьей окружности, $K$ - вторая точка пересечения прямой $AC$ с первой окружностью, $P$ - точка касания двух первых окружностей.
Поскольку эти окружности касаются, то точка $P$ лежит на прямой $O_{1}O_{2}$. Докажем, что точка пересечения прямых $MN$ и $AB$ также лежит на прямой $O_{1}O_{2}$.
Пусть прямая $MN$ пересекает прямую $O_{1}O_{2}$ в точке $C'$. Если $Q$ - проекция точки $O_{1}$ на $O_{2}N$, то треугольник $O_{1}MC'$ подобен треугольнику $O_{2}QO_{1}$ с коэффициентом
$\frac{O_{1}M}{O_{2}Q}=\frac{O_{1}M}{O_{2}N-NQ}=\frac{O_{1}M}{O_{2}N-O_{1}M}=\frac{r}{R-r}.$
Поэтому
$C'O_{1}=\frac{r}{R-r}\cdot O_{1}O_{2}=\frac{r}{R-r}\cdot(R+r)=\frac{r(R+r)}{R-r}.$
Пусть прямая $AB$ пересекает прямую $O_{1}O_{2}$ в точке $C''$. Поскольку точка $A$ лежит на отрезке $O_{1}O_{3}$, а точка $B$ - на $O_{2}O_{3}$, то
$\angle O_{1}KA=\angle O_{1}AK=\angle O_{3}AB=\angle O_{3}BA=\angle O_{2}BF,$
где $F$ - вторая точка пересечения прямой $AB$ и окружности с центром $O_{2}$. Поэтому $KO_{1}\parallel BO_{2}$. Пусть прямая, проходящая через точку $O_{1}$ параллельно $AB$, пересекает радиус $O_{2}B$ в точке $L$. Тогда треугольник $O_{1}KC''$ подобен треугольнику $O_{2}LO_{1}$ с коэффициентом
$\frac{O_{1}K}{O_{2}L}=\frac{O_{1}K}{O_{2}B-BL}=\frac{O_{1}K}{O_{2}B-O_{1}K}=\frac{r}{R-r}.$
Поэтому
$C''O_{1}=\frac{r}{R-r}\cdot O_{1}O_{2}=\frac{r}{R-r}\cdot(R+r)=\frac{r(R+r)}{R-r}.$
Таким образом, $C'O_{1}=C''O_{1}$. Значит, точки $C'$ и $C''$ совпадают. Следовательно, прямые $MN$ и $AB$ пересекаются на прямой $O_{1}O_{2}$.
Теперь найдём $CD$. Для этого сначала заметим, что точки $A$, $P$ и $B$ на сторонах треугольника $O_{1}O_{2}O_{3}$ таковы, что
$O_{1}A=O_{1}P,~O_{2}B=O_{2}P,~O_{3}A=O_{3}B.$
Значит, в этих точках вписанная окружность треугольника $O_{1}O_{2}O_{3}$ касается его сторон (см. задачу @H4728). Поскольку $CP$ - касательная к этой окружности, $CD$ - касательная к окружности с центром $O_{3}$, а $CAB$ - общая секущая этих окружностей, то
$CD^{2}=CA\cdot CB=CP^{2}$
Следовательно,
$CD=CP=CO_{1}+O_{1}P=\frac{r(R+r)}{R-r}+r=\frac{2rR}{R-r}.$
