Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3912
2019-07-03 
Окружность касается сторон $AB$ и $AD$ прямоугольника $ABCD$ и проходит через вершину $C$. Сторону $DC$ она пересекает в точке $N$. Найдите площадь трапеции $ABND$, если $AB=9$ и $AD=8$.
Решение:
Обозначим $DN=x$. Пусть $P$ и $Q$ - точки касания окружности со сторонами соответственно $AD$ и $AB$ данного прямоугольника, а перпендикуляр к стороне $AB$, проведённый через точку $Q$, пересекает сторону $DC$ в точке $F$. Тогда центр окружности лежит на прямой $QF$, а т.к. диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, то $F$ - середина хорды $CN$.
По теореме о касательной и секущей $PD^{2}=DC\cdot DN=9x$, поэтому $PD=3\sqrt{x}$. Тогда
$AQ=AP=AD-PD=8-3\sqrt{x}=AQ,~QB=AB-AQ=9-(8-3\sqrt{x})=1+3\sqrt{x},~$
$NC=2CF=2QB=2+6\sqrt{x}.$
Поскольку $NC+ND=9$, то
$2+6\sqrt{x}+x=9,~\mbox{или}~x+6\sqrt{x}-7=0.$
Отсюда находим, что $x=1.$ Следовательно,
$S_{ABND}=\frac{AB+ND}{2}\cdot AD=10\cdot4=40.$
Окружность касается сторон $AB$ и $AD$ прямоугольника $ABCD$ и проходит через вершину $C$. Сторону $DC$ она пересекает в точке $N$. Найдите площадь трапеции $ABND$, если $AB=9$ и $AD=8$.
Решение:
Обозначим $DN=x$. Пусть $P$ и $Q$ - точки касания окружности со сторонами соответственно $AD$ и $AB$ данного прямоугольника, а перпендикуляр к стороне $AB$, проведённый через точку $Q$, пересекает сторону $DC$ в точке $F$. Тогда центр окружности лежит на прямой $QF$, а т.к. диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, то $F$ - середина хорды $CN$.
По теореме о касательной и секущей $PD^{2}=DC\cdot DN=9x$, поэтому $PD=3\sqrt{x}$. Тогда
$AQ=AP=AD-PD=8-3\sqrt{x}=AQ,~QB=AB-AQ=9-(8-3\sqrt{x})=1+3\sqrt{x},~$
$NC=2CF=2QB=2+6\sqrt{x}.$
Поскольку $NC+ND=9$, то
$2+6\sqrt{x}+x=9,~\mbox{или}~x+6\sqrt{x}-7=0.$
Отсюда находим, что $x=1.$ Следовательно,
$S_{ABND}=\frac{AB+ND}{2}\cdot AD=10\cdot4=40.$
