Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3911
2019-07-02 
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с катетами $AB=3$ и $BC=4$ через середины сторон $AB$ и $AC$ проведена окружность, касающаяся катета $BC$. Найдите длину отрезка гипотенузы $AC$, который лежит внутри этой окружности.
Решение:
Пусть $M$ и $N$ - середины $AC$ и $AB$ соответственно, $K$ - точка касания. Тогда $MN$ - средняя линия треугольника $ABC$; диаметр окружности, проходящий через точку касания $K$, перпендикулярен $BC$, а значит, и $MN$. Поэтому
$MN=\frac{1}{2}BC=2,~CK=CB-KB=CB-\frac{1}{2}MN=4-1=3.$
Пусть $T$ - вторая точка пересечения окружности с гипотенузой $AC$. Тогда
$CT\cdot CM=CK^{2},~\mbox{или}~\left(\frac{5}{2}+MT\right)\frac{5}{2}=9.$
Отсюда находим, что $MT=\frac{11}{10}$.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с катетами $AB=3$ и $BC=4$ через середины сторон $AB$ и $AC$ проведена окружность, касающаяся катета $BC$. Найдите длину отрезка гипотенузы $AC$, который лежит внутри этой окружности.
Решение:
Пусть $M$ и $N$ - середины $AC$ и $AB$ соответственно, $K$ - точка касания. Тогда $MN$ - средняя линия треугольника $ABC$; диаметр окружности, проходящий через точку касания $K$, перпендикулярен $BC$, а значит, и $MN$. Поэтому
$MN=\frac{1}{2}BC=2,~CK=CB-KB=CB-\frac{1}{2}MN=4-1=3.$
Пусть $T$ - вторая точка пересечения окружности с гипотенузой $AC$. Тогда
$CT\cdot CM=CK^{2},~\mbox{или}~\left(\frac{5}{2}+MT\right)\frac{5}{2}=9.$
Отсюда находим, что $MT=\frac{11}{10}$.
