Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3909
2019-07-02 
Сторона $AB$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ равна $\sqrt{3}$ и является хордой некоторой окружности, причём остальные стороны шестиугольника лежат вне этой окружности. Длина касательной $CM$, проведённой к той же окружности из вершины $C$ (соседней с вершиной $B$), равна 3. Найдите диаметр окружности.
Решение:
Пусть $M$ - точка касания, $K$ - вторая точка пересечения прямой $BC$ с данной окружностью. Тогда $CK\cdot CB=CM^{2}$. Отсюда находим, что $CK=3\sqrt{3}$, $BK=CK-BC=2\sqrt{3}$. В треугольнике $ABK$ известно, что
$AB=\sqrt{3},~BK=2\sqrt{3}=2AB,~\angle ABK=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}.$
Значит, треугольник $ABK$ - прямоугольный, $BK$ - его гипотенуза. Следовательно, $BK=2\sqrt{3}$ - искомый диаметр.
Сторона $AB$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ равна $\sqrt{3}$ и является хордой некоторой окружности, причём остальные стороны шестиугольника лежат вне этой окружности. Длина касательной $CM$, проведённой к той же окружности из вершины $C$ (соседней с вершиной $B$), равна 3. Найдите диаметр окружности.
Решение:
Пусть $M$ - точка касания, $K$ - вторая точка пересечения прямой $BC$ с данной окружностью. Тогда $CK\cdot CB=CM^{2}$. Отсюда находим, что $CK=3\sqrt{3}$, $BK=CK-BC=2\sqrt{3}$. В треугольнике $ABK$ известно, что
$AB=\sqrt{3},~BK=2\sqrt{3}=2AB,~\angle ABK=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}.$
Значит, треугольник $ABK$ - прямоугольный, $BK$ - его гипотенуза. Следовательно, $BK=2\sqrt{3}$ - искомый диаметр.
