Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3907
2019-07-02 
Окружность радиуса $R$ с центром в точке $O$ проходит через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$, пересекает отрезок $BC$ в точке $M$ и касается прямой $AC$ в точке $A$. Найдите $CM$, зная, что $\angle ACO=\alpha$, $\angle MAB=\beta$.
Решение:
По теореме о касательной и секущей
$AC^{2}=BC\cdot CM=(BM+CM)CM.$
Поскольку $BM=2R\sin\beta$ и $AC=R\cos\alpha$, то
$R^{2}\cos^{2}\alpha=CM^{2}+CM\cdot2R\sin\beta,$
или
$CM^{2}+2R\sin\beta\cdot CM-R^{2}\cos^{2}\alpha=0$
Из этого уравнения находим, что
$CM=R\left(\sqrt{\sin^{2}\beta+ctg^{2}\alpha}-\sin\beta\right).$
Окружность радиуса $R$ с центром в точке $O$ проходит через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$, пересекает отрезок $BC$ в точке $M$ и касается прямой $AC$ в точке $A$. Найдите $CM$, зная, что $\angle ACO=\alpha$, $\angle MAB=\beta$.
Решение:
По теореме о касательной и секущей
$AC^{2}=BC\cdot CM=(BM+CM)CM.$
Поскольку $BM=2R\sin\beta$ и $AC=R\cos\alpha$, то
$R^{2}\cos^{2}\alpha=CM^{2}+CM\cdot2R\sin\beta,$
или
$CM^{2}+2R\sin\beta\cdot CM-R^{2}\cos^{2}\alpha=0$
Из этого уравнения находим, что
$CM=R\left(\sqrt{\sin^{2}\beta+ctg^{2}\alpha}-\sin\beta\right).$
