2019-06-23
Две урны содержат одно и то же количество шаров, несколько черных и несколько белых каждая. Из них извлекаются $n$ ($n \geq 3$) шаров с возвращением. Найти число $n$ и содержимое обеих урн, если вероятность того, что все белые шары извлечены из первой урны, равна вероятности того, что из второй извлечены либо все белые, либо все черные шары.
Решение:
Пусть $z$ обозначает число белых шаров в первой урне, $x$-число белых шаров и $y$ - число черных шаров во второй урне. Тогда задача состоит в том, чтобы найти целые числа $n, x, y$ и $z$ такие, что
$\left ( \frac {z}{x + y} \right )^n = \left ( \frac {x}{x + y} \right )^n + \left ( \frac {y}{x + y} \right )^n$,
или
$z^n = x^n + y^n$.
Хотя для многих значений $n$ известно, что это уравнение не имеет корней, но не установлено, так ли это при всех $n \geq 3$. Доказано, однако, что целочисленных решений нет при $n < 2000$.