2019-06-23
Каков ответ в задаче 3904, если длина иглы произвольна?
Решение:
Разделим мысленно иглу на $n$ кусков одинаковой и меньшей единицы длины. При бросании каждого из этих кусков среднее число его пересечений было найдено в предыдущей задаче. Таким образом, согласно уже упоминавшейся теореме о среднем суммы, среднее число пересечений равно $4 \cdot$ (исходная длина)$/ \pi $. Тот факт, что игла подбрасывается вся целиком, а не кусочками, не имеет здесь значения.
Для определения числа $ \pi $ эксперимент, отвечающий настоящей задаче, более удобен чем первоначальный, предложенный Бюффоном. (Почему бы не взять лист клетчатой бумаги и не провести его?) Автор провел такой опыт с зубной щеткой и графленой бумагой. Длина щетки была равной 5,2 дюйма, а клетки 1 дюйм. При десяти бросаниях автор получил 8, 6, 7, 6, 5, 6, 7, 5, 5, 7 пересечений, что в сумме дает 62.
Итак, оценкой числа $ \pi $ в этом случае является $ \frac {4 \cdot 5,2}{ \frac{62}{10}} \approx 3,35$ вместо 3,14. При другом опыте, состоящем также из 10 подбрасываний, было получено 67 пересечений, что дает оценку 3,10.