2014-06-07
Пусть через $h(n)$ обозначен наибольший простой делитель числа $n \in \mathbf{N} (n \geq 2$). Является ли бесконечным множество значений $n$, удовлетворяющих условию
$h(n) < h(n+1) < h (n+2)$?
Решение:
Пусть выбрано простое нечетное число $p$. Докажем, что любые два числа из возрастающей последовательности четных чисел $a_{m}=p^{2m}+1 (m \in \mathbf{Z}^{+})$ не имеют общих делителей, больших двойки. Действительно, если $m > l \geq 0$, то число
$p^{2m}-1 = (p^{2m-1}+1)( p^{2m-1}-1) = \cdots = (p^{2m-1}+1)( p^{2m-1}+1) \cdots (p^{2l}+1)( p^{2l}-1) $
делится на $p^{2l}+1$, поэтому
$(a_{m},a_{l})=(2+(p^{2m}-1),p^{2l}+1)=(2,p^{2l}+1)=2$.
Рассмотрим множество тех членов последовательности, которые делятся хотя бы на одно простое число, большее р. Это множество не пусто, так как вследствие доказанного выше свойства последовательности ${a_{m}}$ лишь конечное множество ее членов может не иметь делителей, больших р. Пусть $a_{m}$ - наименьшее число в этом множестве. Тогда имеем
$h(a_{m}) > p, h(a_{m}-1)= h(p^{2m})=p$,
$h(a_{m}-2)=h(p^{2m}-1) = max \{ h(p^{2m-1}+1), h(p^{2m-1}-1) \} = \cdots = max \{ h(p^{2m-1}+1), h(p^{2m-2}+1), \cdots , h(p+1),h(p-1) \} = max\{h(a_{m-1}), h(a_{m-2}), \cdots , h(a_{0}),h(p-1)\} < p$,
поскольку $h(р-1) < p$ и при каждом значении $l=0, 1, \cdots m - 2, m – 1$ согласно выбору числа $m$ имеем $h(a_{l}) \leq p$, а кроме того $a_{l}= 1 (\mod \: p)$, откуда $h (a_{l}) < p$. Таким образом, для заданного нечетного простого числа $p$ указано число вида $n=p^{2m}-1$, удовлетворяющее неравенствам
$h(n) < h(n+1) < h(n+2)$
Поскольку при разных числах $p$ будут получаться разные значения $n$, то множество таких значений бесконечно.