Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3884
2019-06-23 
В поисках парных дней рождения. Вы задались целью найти человека, день рождения которого совпадает с вашим. Сколько незнакомцев вам придется опросить, чтобы вероятность встречи такого человека была бы не меньше, чем 1/2?
Решение:
Автор считает, что большинство людей имеет в виду именно эту задачу, когда им предлагают задачу 3883 о парных днях рождения. Мысль о дне рождения, совпадающем с вашим, и вызывает удивление при ответе $r = 23$ в задаче 3883. В настоящих условиях вам совсем не важно, совпадают ли дни рождения других людей, если только они не совпадают с вашим. Чаще всего считают, что ответ в этой задаче равен половине от 365 или 183. Из-за смешения двух проблем ответ $r = 23$ кажется тогда неправдоподобно маленьким.
Но и в настоящей задаче интуитивный ответ 183 оказывается неправильным. Дело в том, что выборка дней рождения производится с возвращением. Если первый из опрошенных родился 4-го июля, то ничто не мешает и последующим иметь тот же день рождения. Вероятность того, что опрошенный человек родился не в один день с вами, равна $ \frac {(N - 1)}{N}$, где $ N = 365$ - число дней в году. При опросе $n$ людей вероятность того, что все они произошли на свет не в ваш день рождения, равна $ \left [ \frac {(N - 1)}{N} \right ]^n$, и вероятность того, что хотя бы у одного день рождения тот же самый, что и ваш, равна
$P_n = 1 - \left ( \frac {N - 1}{N} \right )^n$. (4)
Нас интересует наименьшее значение $n$, для которого $P_n$ не меньше 1/2. Логарифм 364 равен 2,56110, а 1/2 равен - 0,30103.
Если мы перейдем к логарифмам, то обнаружим, что искомое значение п равно 253, что довольно значительно отличаете от 183.
Можно поступить и иначе, использовав опять аппроксимацию
$ \frac {N - 1}{N} = 1 - \frac{1}{N} \approx e^{- \frac{1}{N}}$.
Тогда
$P_n \approx 1 - e^{ - \frac{n}{N}} = \frac{1}{2}$
и
$e^{ - \frac{n}{N}} = \frac{1}{2}$.
Логарифмируя, получаем
$ \frac{n}{N} \approx 0,693, n \approx 0,693N$.
Для $N = 365$ получаем $n = 253$.
Эта задача легче 3884, и обсуждение связи между их ответами представляется поучительным.
В поисках парных дней рождения. Вы задались целью найти человека, день рождения которого совпадает с вашим. Сколько незнакомцев вам придется опросить, чтобы вероятность встречи такого человека была бы не меньше, чем 1/2?
Решение:
Автор считает, что большинство людей имеет в виду именно эту задачу, когда им предлагают задачу 3883 о парных днях рождения. Мысль о дне рождения, совпадающем с вашим, и вызывает удивление при ответе $r = 23$ в задаче 3883. В настоящих условиях вам совсем не важно, совпадают ли дни рождения других людей, если только они не совпадают с вашим. Чаще всего считают, что ответ в этой задаче равен половине от 365 или 183. Из-за смешения двух проблем ответ $r = 23$ кажется тогда неправдоподобно маленьким.
Но и в настоящей задаче интуитивный ответ 183 оказывается неправильным. Дело в том, что выборка дней рождения производится с возвращением. Если первый из опрошенных родился 4-го июля, то ничто не мешает и последующим иметь тот же день рождения. Вероятность того, что опрошенный человек родился не в один день с вами, равна $ \frac {(N - 1)}{N}$, где $ N = 365$ - число дней в году. При опросе $n$ людей вероятность того, что все они произошли на свет не в ваш день рождения, равна $ \left [ \frac {(N - 1)}{N} \right ]^n$, и вероятность того, что хотя бы у одного день рождения тот же самый, что и ваш, равна
$P_n = 1 - \left ( \frac {N - 1}{N} \right )^n$. (4)
Нас интересует наименьшее значение $n$, для которого $P_n$ не меньше 1/2. Логарифм 364 равен 2,56110, а 1/2 равен - 0,30103.
Если мы перейдем к логарифмам, то обнаружим, что искомое значение п равно 253, что довольно значительно отличаете от 183.
Можно поступить и иначе, использовав опять аппроксимацию
$ \frac {N - 1}{N} = 1 - \frac{1}{N} \approx e^{- \frac{1}{N}}$.
Тогда
$P_n \approx 1 - e^{ - \frac{n}{N}} = \frac{1}{2}$
и
$e^{ - \frac{n}{N}} = \frac{1}{2}$.
Логарифмируя, получаем
$ \frac{n}{N} \approx 0,693, n \approx 0,693N$.
Для $N = 365$ получаем $n = 253$.
Эта задача легче 3884, и обсуждение связи между их ответами представляется поучительным.
