Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3883
2019-06-23 
При каком минимальном числе людей в компании вероятность того, что хотя бы два из них родились в один и тот же день, не меньше 1/2? (Годы рождения могут и не совпадать.)
Решение:
В задачах такого рода предполагается обычно, что 29 февраля не может быть днем рождения, и что всем остальным дням в году отвечает одинаковая вероятность.
Решим несколько более общую задачу. Пусть $N$ обозначает число равновероятных дней, $r$ - число людей. Вычислим вероятность того, что все эти люди родились в разные дни. Тем самым мы найдем и вероятность того, что хотя бы два человека родились в один и тот же день.
Для первого человека имеется $N$ возможных дней, для второго - $(N - 1)$, не совпадающих с днем рождения первого, для третьего -$(N - 2)$, отличных от дней рождения первых двух и т. д., для $n$-го человека существует $N - r + 1$ возможностей. Общее число вариантов, при которых нет одинаковых дней рождения, равно
$N (N - 1) \cdots (N - r + 1)$ ($r$ сомножителей) (1)
Для определения интересующей нас вероятности надо найти еще общее число всевозможных расстановок дней рождения. Для каждого человека существует ровно $N$ возможных дней, и общее число различных распределений дней рождения $r$ людей равно
$N^r$. (2)
Так как, согласно предположению, все дни равновероятны, то искомая вероятность равна отношению (1) и (2) Таким образом, вероятность того, что имеются по крайней мере два одинаковых дня рождения, равна
$P_{r} = 1 - N(N - 1) \cdots \frac {(N - r + 1)}{N^r}$. (3)
Точное вычисление значения (3) потребовало бы при больших значениях $N$ таких, как 365, значительного числа выкладок, чего в нашем случае можно избежать за счет использования таблицы логарифмов, представляя искомую вероятность в виде $ \frac {N!}{(N - 2)!N^r}$. Имеем
$ \log 365! = 778,39975$, $ \log 365 = 2,56229286$
$ r = 20$, $ \log 345! = 727,38410$,
$ r = 21$, $ \log 344! = 724,84628$,
$ r = 22$, $ \log 343! = 722,30972$,
$ r = 23$, $ \log 342! = 719,77442$,
$ r = 24$, $ \log 341! = 717,24040$,
$ r = 25$, $ \log 340! = 714,70764$.
Небольшая работа с таблицами показывает, что при $r = 23$ вероятность по крайней мере одного совпадения для рождений равна 0,5073, а при $r = 22$ эта вероятность равна 0,4757. Таким образом, $r = 23$ - наименьшее целое число, при котором имеет смысл заключать равноправное пари. Для большинства кажется удивительным, что это число довольно мало, так как интуитивно ожидаемым ответом кажется 365/2. Мы обсудим это явление в следующей задаче, а пока заметим вот что:
Во-первых, следующая таблица дает значения вероятности парных дней рождения для различных значений $R$:
Во-вторых, вспомним, что
$ e^{ - x} = 1 - x + \frac {x^2}{2!} - \frac {x^3}{3!} + \cdots $
Если $x$ достаточно мало, то члены порядка, большего, чем $x$, дают в сумму пренебрежимо малый вклад, и $ e^{ - x}$ приближенно равно $1 - x$, или $1 - x$ можно при малых $x$ заменить на $ e^{ - x}$. Заметим, что
$N (N - 1) \cdots \frac {(N - r + 1)}{N^r}$
является произведением множителей вида $ \frac {(N - k)}{N}$, где $k$ много меньше $N$. Эти множители могут быть записаны в виде $1 - \frac{k}{N}$, где $0 \leq k \leq r$. Поэтому
$ \frac {N (N - 1)\cdots (N - r + 1)}{N^r} \approx e^{ \frac { - (0 + 1 + \cdots + r - 1)}{N}} = e^{ \frac { - r(r - 1)}{2N}}$.
Для исследования этой асимптотической формулы положим $r = 23$ и получим что-то около 0,500 вместо 0,507, или, положив $ \frac {r(r - 1)}{2} \cdot 365$ равным $ - \log 0,5 \approx 0,693$, найдем отсюда $r$.
В-третьих, предположим, что задача модифицирована таким образом: найти вероятность того, что хотя бы два дня рождения совпадают или приходятся на два дня, следующих один за другим (1 января следует за 31 декабря) Решение такой задачи предоставляется читателю.
При каком минимальном числе людей в компании вероятность того, что хотя бы два из них родились в один и тот же день, не меньше 1/2? (Годы рождения могут и не совпадать.)
Решение:
В задачах такого рода предполагается обычно, что 29 февраля не может быть днем рождения, и что всем остальным дням в году отвечает одинаковая вероятность.
Решим несколько более общую задачу. Пусть $N$ обозначает число равновероятных дней, $r$ - число людей. Вычислим вероятность того, что все эти люди родились в разные дни. Тем самым мы найдем и вероятность того, что хотя бы два человека родились в один и тот же день.
Для первого человека имеется $N$ возможных дней, для второго - $(N - 1)$, не совпадающих с днем рождения первого, для третьего -$(N - 2)$, отличных от дней рождения первых двух и т. д., для $n$-го человека существует $N - r + 1$ возможностей. Общее число вариантов, при которых нет одинаковых дней рождения, равно
$N (N - 1) \cdots (N - r + 1)$ ($r$ сомножителей) (1)
Для определения интересующей нас вероятности надо найти еще общее число всевозможных расстановок дней рождения. Для каждого человека существует ровно $N$ возможных дней, и общее число различных распределений дней рождения $r$ людей равно
$N^r$. (2)
Так как, согласно предположению, все дни равновероятны, то искомая вероятность равна отношению (1) и (2) Таким образом, вероятность того, что имеются по крайней мере два одинаковых дня рождения, равна
$P_{r} = 1 - N(N - 1) \cdots \frac {(N - r + 1)}{N^r}$. (3)
Точное вычисление значения (3) потребовало бы при больших значениях $N$ таких, как 365, значительного числа выкладок, чего в нашем случае можно избежать за счет использования таблицы логарифмов, представляя искомую вероятность в виде $ \frac {N!}{(N - 2)!N^r}$. Имеем
$ \log 365! = 778,39975$, $ \log 365 = 2,56229286$
$ r = 20$, $ \log 345! = 727,38410$,
$ r = 21$, $ \log 344! = 724,84628$,
$ r = 22$, $ \log 343! = 722,30972$,
$ r = 23$, $ \log 342! = 719,77442$,
$ r = 24$, $ \log 341! = 717,24040$,
$ r = 25$, $ \log 340! = 714,70764$.
Небольшая работа с таблицами показывает, что при $r = 23$ вероятность по крайней мере одного совпадения для рождений равна 0,5073, а при $r = 22$ эта вероятность равна 0,4757. Таким образом, $r = 23$ - наименьшее целое число, при котором имеет смысл заключать равноправное пари. Для большинства кажется удивительным, что это число довольно мало, так как интуитивно ожидаемым ответом кажется 365/2. Мы обсудим это явление в следующей задаче, а пока заметим вот что:
Во-первых, следующая таблица дает значения вероятности парных дней рождения для различных значений $R$:
Во-вторых, вспомним, что
$ e^{ - x} = 1 - x + \frac {x^2}{2!} - \frac {x^3}{3!} + \cdots $
Если $x$ достаточно мало, то члены порядка, большего, чем $x$, дают в сумму пренебрежимо малый вклад, и $ e^{ - x}$ приближенно равно $1 - x$, или $1 - x$ можно при малых $x$ заменить на $ e^{ - x}$. Заметим, что
$N (N - 1) \cdots \frac {(N - r + 1)}{N^r}$
является произведением множителей вида $ \frac {(N - k)}{N}$, где $k$ много меньше $N$. Эти множители могут быть записаны в виде $1 - \frac{k}{N}$, где $0 \leq k \leq r$. Поэтому
$ \frac {N (N - 1)\cdots (N - r + 1)}{N^r} \approx e^{ \frac { - (0 + 1 + \cdots + r - 1)}{N}} = e^{ \frac { - r(r - 1)}{2N}}$.
Для исследования этой асимптотической формулы положим $r = 23$ и получим что-то около 0,500 вместо 0,507, или, положив $ \frac {r(r - 1)}{2} \cdot 365$ равным $ - \log 0,5 \approx 0,693$, найдем отсюда $r$.
В-третьих, предположим, что задача модифицирована таким образом: найти вероятность того, что хотя бы два дня рождения совпадают или приходятся на два дня, следующих один за другим (1 января следует за 31 декабря) Решение такой задачи предоставляется читателю.
