Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3882
2019-06-23 
Разъезжающий булочник продает в среднем 20 кексов за одну поездку. Какова вероятность того, что он продаст четное число кексов? (Предполагается, что число покупок подчиняется закону Пуассона.)
Решение:
Почему мы пользуемся предположением о распределении Пуассона? Отчасти потому, что задача допускает тогда красивое решение, а отчасти потому, что распределение действительно может быть близким к пуассоновскому, так как булочник имеет много клиентов, каждый из которых довольно редко покупает кекс. Если читателя беспокоит колебание числа покупок, связанное с разными днями недели, то будем говорить лишь о вторниках в течение лета.
Большинство обычно считает, что искомая вероятность равна 1/2.
Вероятность продать ровно $r$ кексов есть $ \frac {e^{ - 20}20^r}{r!}$, как известно из задачи 3880. Заменив 20 на $m$, мы лучше выясним структуру задачи. Сумма вероятностей закона Пуассона есть $\sum \frac{e^{ - m} e^m}{r!}$ или
$1 = e^{-m}e^{m} = e^{ - m} \left ( 1 + \frac{m}{1!} + \frac {m^2}{2!} + \frac {m^3}{3!} + \frac {m^4}{4!} + \cdots \right )$. (А)
Нашей целью является выделение слагаемых, отвечающих нечетным количествам покупок. Известно, что
$e^{ - 2m} = e^{ - m} e^{ - m} = e^{ - m} \left ( 1 - \frac{m}{1!} + \frac {m^2}{2!} - \frac {m^3}{3!} + \frac {m^4}{4!} - \cdots \right )$ (B)
Сумма выражений (А) и (В) дает нам удвоенную вероятность четного числа кексов, так как члены с нечетными степенями $m$ войдут в сумму с нулевыми коэффициентами, а члены с четными степенями - с коэффициентом 2. Следовательно, деля на 2, получим вероятность четного числа покупок $ \frac {1 + e^{ - 2m}}{2}$. При $m = 20$ этот результат весьма близок к 0,5, так как число $e^{ - 40}$ мало. С другой стороны, если булочник продает в среднем один специальный торт ко дню рождения за одну поездку, то вероятность того, что будет продано четное число таких тортов, равняется приблизительно 0,568.
Разъезжающий булочник продает в среднем 20 кексов за одну поездку. Какова вероятность того, что он продаст четное число кексов? (Предполагается, что число покупок подчиняется закону Пуассона.)
Решение:
Почему мы пользуемся предположением о распределении Пуассона? Отчасти потому, что задача допускает тогда красивое решение, а отчасти потому, что распределение действительно может быть близким к пуассоновскому, так как булочник имеет много клиентов, каждый из которых довольно редко покупает кекс. Если читателя беспокоит колебание числа покупок, связанное с разными днями недели, то будем говорить лишь о вторниках в течение лета.
Большинство обычно считает, что искомая вероятность равна 1/2.
Вероятность продать ровно $r$ кексов есть $ \frac {e^{ - 20}20^r}{r!}$, как известно из задачи 3880. Заменив 20 на $m$, мы лучше выясним структуру задачи. Сумма вероятностей закона Пуассона есть $\sum \frac{e^{ - m} e^m}{r!}$ или
$1 = e^{-m}e^{m} = e^{ - m} \left ( 1 + \frac{m}{1!} + \frac {m^2}{2!} + \frac {m^3}{3!} + \frac {m^4}{4!} + \cdots \right )$. (А)
Нашей целью является выделение слагаемых, отвечающих нечетным количествам покупок. Известно, что
$e^{ - 2m} = e^{ - m} e^{ - m} = e^{ - m} \left ( 1 - \frac{m}{1!} + \frac {m^2}{2!} - \frac {m^3}{3!} + \frac {m^4}{4!} - \cdots \right )$ (B)
Сумма выражений (А) и (В) дает нам удвоенную вероятность четного числа кексов, так как члены с нечетными степенями $m$ войдут в сумму с нулевыми коэффициентами, а члены с четными степенями - с коэффициентом 2. Следовательно, деля на 2, получим вероятность четного числа покупок $ \frac {1 + e^{ - 2m}}{2}$. При $m = 20$ этот результат весьма близок к 0,5, так как число $e^{ - 40}$ мало. С другой стороны, если булочник продает в среднем один специальный торт ко дню рождения за одну поездку, то вероятность того, что будет продано четное число таких тортов, равняется приблизительно 0,568.
