Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3881
2019-06-23 
Споры, несущиеся по воздуху, производят маленькие колонии плесени на пластинках желатина в лаборатории. В среднем на пластинке имеется 3 колонии. Какая доля пластинок имеет ровно 3 колонии? Если среднее число колоний равно некоторому достаточно большому целому числу $m$, то какая доля пластинок содержит ровно $m$ колоний?
Решение:
Разобьем поверхность пластинки на $n$ малых равных площадок. Для каждой площадки вероятность колонии равна $p$, а их среднее число есть $np = 3$. Нас интересуют лишь маленькие площадки. Когда $n$ растет, $p$ становится малым, так как площадь участков стремится к нулю. Вместо того, чтобы считать среднее число колоний равным 3, будем рассматривать общее среднее $m = np$. Может показаться, что на некоторых площадках встречаются две или больше колоний, но эти сомнения можно оставить, потому что площадки столь малы, что едва умещают одну колонию. Тогда вероятность ровно $r$ колоний на $n$ маленьких площадках равна
$\left ( \frac{n}{r} \right ) p^r (1 - p)^{n - 1}$,
где $p = \frac{m}{n}$. Заменим $p$ на $\frac{m}{n}$ в этой формуле. Полученное выражение уже знакомо нам по задаче 3880. Пусть $n \rightarrow \infty $. Тогда мы снова приходим к распределению Пуассона
$P(r) = \frac {e^{ - m}m^r}{r!}, r = 0, 1, 2, \cdots $.
При $m = 3$ и $r = 3$ получаем значение 0,224.
То, что $m$ действительно является средним этого распределения, проверяется непосредственно.
Среднее = $ \sum_{x = 0}^{ \infty } xP {x} = m \sum_{x = 0}^{\infty } \frac {e^{ - m} m^{x - 1} {x}}{(x - 1)!} = m$.
Чтобы получить численные результаты для больших значений $m$, где $r = m$, можно использовать таблицы или формулу Стирлинга. Последняя дает
$P(m) = \frac {e^{ - m} m^m}{m!} \approx \frac {e^{ - m} m^m}{ \sqrt {2 \pi } m^{m + \frac{1}{2}}e^{ - m}} = \frac {1}{ \sqrt {2 \pi m}} \approx \frac {0,4}{ \sqrt {m}}$.
Численные примеры:
Споры, несущиеся по воздуху, производят маленькие колонии плесени на пластинках желатина в лаборатории. В среднем на пластинке имеется 3 колонии. Какая доля пластинок имеет ровно 3 колонии? Если среднее число колоний равно некоторому достаточно большому целому числу $m$, то какая доля пластинок содержит ровно $m$ колоний?
Решение:
Разобьем поверхность пластинки на $n$ малых равных площадок. Для каждой площадки вероятность колонии равна $p$, а их среднее число есть $np = 3$. Нас интересуют лишь маленькие площадки. Когда $n$ растет, $p$ становится малым, так как площадь участков стремится к нулю. Вместо того, чтобы считать среднее число колоний равным 3, будем рассматривать общее среднее $m = np$. Может показаться, что на некоторых площадках встречаются две или больше колоний, но эти сомнения можно оставить, потому что площадки столь малы, что едва умещают одну колонию. Тогда вероятность ровно $r$ колоний на $n$ маленьких площадках равна
$\left ( \frac{n}{r} \right ) p^r (1 - p)^{n - 1}$,
где $p = \frac{m}{n}$. Заменим $p$ на $\frac{m}{n}$ в этой формуле. Полученное выражение уже знакомо нам по задаче 3880. Пусть $n \rightarrow \infty $. Тогда мы снова приходим к распределению Пуассона
$P(r) = \frac {e^{ - m}m^r}{r!}, r = 0, 1, 2, \cdots $.
При $m = 3$ и $r = 3$ получаем значение 0,224.
То, что $m$ действительно является средним этого распределения, проверяется непосредственно.
Среднее = $ \sum_{x = 0}^{ \infty } xP {x} = m \sum_{x = 0}^{\infty } \frac {e^{ - m} m^{x - 1} {x}}{(x - 1)!} = m$.
Чтобы получить численные результаты для больших значений $m$, где $r = m$, можно использовать таблицы или формулу Стирлинга. Последняя дает
$P(m) = \frac {e^{ - m} m^m}{m!} \approx \frac {e^{ - m} m^m}{ \sqrt {2 \pi } m^{m + \frac{1}{2}}e^{ - m}} = \frac {1}{ \sqrt {2 \pi m}} \approx \frac {0,4}{ \sqrt {m}}$.
Численные примеры:
