Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3880
2019-06-23 
Чеканщик кладет $m$ фальшивых монет в ящик, содержащий всего $n$ монет. Король, подозревая чеканщика, извлекает случайным образом по одной монете из каждого из $n$ ящиков и проверяет их. Какова вероятность того, что в выборке из $n$ монет ровно $r$ фальшивых?
Решение:
Каждая из проверяемых монет изымается из нового ящика и с вероятностью $\frac{m}{n}$ фальшива. Так как монеты извлекаются независимым образом, то искомая вероятность отвечает биномиальному распределению.
$P (r \: фальшивых \: монет) = \binom {n}{r} \left ( \frac{m}{n} \right )^r \left ( 1 - \frac{m}{n} \right )^{n-r}$.
Исследуем поведение этой вероятности при возрастании $n$ и фиксированных $r$ и $m$. Для этого запишем ее в виде
$\frac{1}{r!} \frac {n(n - 1) \cdots (n - r + 1)}{n^r} m^r \left ( 1 - \frac{m}{n} \right )^n \left ( 1 - \frac{m}{n} \right )^{r}$.
С ростом $n \frac{1}{r!}$ и $m^r$ не меняются, а
$n(n - 1) \cdots \frac {n - r + 1}{n^r}$
стремится к 1, как указано в задаче 3879, $\left ( 1 - \frac{m}{n} \right )^n$ стремится к 1 (так как $m$ и $r$ фиксированы) Поэтому при больших $n$
$P (r \: фальшивых \: монет) \approx \frac {e^{ - m}m^r}{r!}$.
Сумма этих вероятностей равна:
$e^{ - m} \left ( \frac{1}{0!} + \frac{m}{1!} + \frac {m^2}{2!} + \frac {m^3}{3!} + \cdots \right ) = e^{ - m}e^m = 1$.
Ряд, записанный в скобках, является разложением $e^m$.
Распределение Пуассона.
Распределение, задаваемое вероятностями
$P(r) = \frac {e^{ - m}m^r}{r!}$, $r = 0, 1, 2, \cdots $,
называется законом Пуассона и служит хорошей математической моделью для многих физических процессов.
Чеканщик кладет $m$ фальшивых монет в ящик, содержащий всего $n$ монет. Король, подозревая чеканщика, извлекает случайным образом по одной монете из каждого из $n$ ящиков и проверяет их. Какова вероятность того, что в выборке из $n$ монет ровно $r$ фальшивых?
Решение:
Каждая из проверяемых монет изымается из нового ящика и с вероятностью $\frac{m}{n}$ фальшива. Так как монеты извлекаются независимым образом, то искомая вероятность отвечает биномиальному распределению.
$P (r \: фальшивых \: монет) = \binom {n}{r} \left ( \frac{m}{n} \right )^r \left ( 1 - \frac{m}{n} \right )^{n-r}$.
Исследуем поведение этой вероятности при возрастании $n$ и фиксированных $r$ и $m$. Для этого запишем ее в виде
$\frac{1}{r!} \frac {n(n - 1) \cdots (n - r + 1)}{n^r} m^r \left ( 1 - \frac{m}{n} \right )^n \left ( 1 - \frac{m}{n} \right )^{r}$.
С ростом $n \frac{1}{r!}$ и $m^r$ не меняются, а
$n(n - 1) \cdots \frac {n - r + 1}{n^r}$
стремится к 1, как указано в задаче 3879, $\left ( 1 - \frac{m}{n} \right )^n$ стремится к 1 (так как $m$ и $r$ фиксированы) Поэтому при больших $n$
$P (r \: фальшивых \: монет) \approx \frac {e^{ - m}m^r}{r!}$.
Сумма этих вероятностей равна:
$e^{ - m} \left ( \frac{1}{0!} + \frac{m}{1!} + \frac {m^2}{2!} + \frac {m^3}{3!} + \cdots \right ) = e^{ - m}e^m = 1$.
Ряд, записанный в скобках, является разложением $e^m$.
Распределение Пуассона.
Распределение, задаваемое вероятностями
$P(r) = \frac {e^{ - m}m^r}{r!}$, $r = 0, 1, 2, \cdots $,
называется законом Пуассона и служит хорошей математической моделью для многих физических процессов.
