Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3877
2019-06-23 
Если хорда выбирается наудачу в заданном круге, то какова вероятность того, что ее длина больше радиуса круга?
Решение:
Пока выражение «наудачу» не уточнено, задача не имеет определенного ответа. Следующие три возможных предположения с соответствующими тремя различными вероятностями иллюстрируют неопределенность понятия «наудачу», часто встречающуюся в геометрических задачах. Мы не можем гарантировать, что эти результаты должны согласовываться с некоторым физическим процессом, который мог бы быть использован для выбора случайных хорд. Иначе задача могла бы быть проверена эмпирически.
Пусть радиус круга равен $r$.
(а) Допустим, что расстояние хорды от центра круга равномерно распределено между $O$ и $r$. Поскольку правильный шестиугольник со стороной $r$ можно вписать в круг, для определения искомой вероятности найдем расстояние $d$ стороны этого шестиугольника от центра и разделим на величину радиуса. Заметим, что $d$ - высота правильного треугольника со стороной $r$. Из планиметрии известно, что
$d = \sqrt {r^2 - \frac{r^2}{4}} = \frac{ r \sqrt {3}}{2}$.
Следовательно, искомая вероятность равна
$ \frac{ r \sqrt {3}}{2r} = \frac{ \sqrt {3}}{2} \approx 0,866$.
(б) Пусть середина хорды равномерно распределена во внутренности круга. Из чертежа видно, что хорда длиннее радиуса, когда середина хорды находится на расстоянии, меньшем $d$, от центра. Таким образом, все точки круга радиуса $d$, концентрического с исходным кругом, являются геометрическим местом точек середины хорд. Площадь этого круга, деленная на площадь исходного, равна $ \frac{ \pi d^2}{ \pi r^2} = \frac{d^2}{r^2} = \frac{3}{4} = 0,75. Эта вероятность равна квадрату выражения, полученного в случае (а)
(в) Допустим, что хорда определяется двумя точками на окружности исходного круга. Пусть первая точка попала в $A$ (рис.) Для того чтобы хорда была короче радиуса, вторая точка должна попасть на дугу $BAC$, длина которой есть $\frac{1}{3}$ длины окружности. Следовательно, вероятность того, что хорда длиннее радиуса, равна $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
Если хорда выбирается наудачу в заданном круге, то какова вероятность того, что ее длина больше радиуса круга?
Решение:
Пока выражение «наудачу» не уточнено, задача не имеет определенного ответа. Следующие три возможных предположения с соответствующими тремя различными вероятностями иллюстрируют неопределенность понятия «наудачу», часто встречающуюся в геометрических задачах. Мы не можем гарантировать, что эти результаты должны согласовываться с некоторым физическим процессом, который мог бы быть использован для выбора случайных хорд. Иначе задача могла бы быть проверена эмпирически.
Пусть радиус круга равен $r$.
(а) Допустим, что расстояние хорды от центра круга равномерно распределено между $O$ и $r$. Поскольку правильный шестиугольник со стороной $r$ можно вписать в круг, для определения искомой вероятности найдем расстояние $d$ стороны этого шестиугольника от центра и разделим на величину радиуса. Заметим, что $d$ - высота правильного треугольника со стороной $r$. Из планиметрии известно, что
$d = \sqrt {r^2 - \frac{r^2}{4}} = \frac{ r \sqrt {3}}{2}$.
Следовательно, искомая вероятность равна
$ \frac{ r \sqrt {3}}{2r} = \frac{ \sqrt {3}}{2} \approx 0,866$.
(б) Пусть середина хорды равномерно распределена во внутренности круга. Из чертежа видно, что хорда длиннее радиуса, когда середина хорды находится на расстоянии, меньшем $d$, от центра. Таким образом, все точки круга радиуса $d$, концентрического с исходным кругом, являются геометрическим местом точек середины хорд. Площадь этого круга, деленная на площадь исходного, равна $ \frac{ \pi d^2}{ \pi r^2} = \frac{d^2}{r^2} = \frac{3}{4} = 0,75. Эта вероятность равна квадрату выражения, полученного в случае (а)
(в) Допустим, что хорда определяется двумя точками на окружности исходного круга. Пусть первая точка попала в $A$ (рис.) Для того чтобы хорда была короче радиуса, вторая точка должна попасть на дугу $BAC$, длина которой есть $\frac{1}{3}$ длины окружности. Следовательно, вероятность того, что хорда длиннее радиуса, равна $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
