Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3876
2019-06-23 
Игроки $A$ и $B$ в орлянку играют $N$ раз. После первого бросания каковы шансы на то, что в течение всей игры их выигрыши не совпадут?
Решение:
Ниже мы обобщим метод решения задачи 3874 и покажем, что вероятность отсутствия ничейного результата (при $N$ четном и $N$ нечетном) равна
$P (нет \: ничьей) \frac{\binom {N - 1}{n}}{2^{N - 1}}, N = 2n + 1$,
$P (нет \: ничьей) \frac{\binom {N}{n}}{2^N}, N = 2n$.
Эти формулы показывают, что указанная вероятность одна и та же для четного $N$ и для следующего за ним нечетного числа $N + 1$. Например, когда $N = 4$, надо применить вторую формулу. Шестнадцатью возможными исходами являются
$*AAAA$ $BAAA$ $ABBA$ $BABB$
$*AAAB$ $AABB$ $BABA$ $*BBAB$
$*AABA$ $ABAB$ $BBAA$ $*BBBA$
$ABAA$ $BAAB$ $ABBB$ $*BBBB$
где звездочкой отмечены комбинации с равновесным положением.
Поскольку число сочетаний из 4 по 2 равно 6, то вторая формула действительно верна для этого значения $N$.
При $N = 2n$ вероятность $x$ выигрышей $A$ есть $\frac{\binom {N}{x}}{2^N}$. Если $x \leq n$, то вероятность ничьей есть
$2x/N$ (на основании задачи 3874), а при $x \geq n$ эта вероятность равна $ \frac {2(N - x)}{N}$. Чтобы получить вероятность ничьей, находим вероятность $x$ выигрышей, умножим ее на условную вероятность ничьей при $x$ выигрышах и просуммируем полученные выражения, что дает
$2 ( 2^{ - N}) \left [ \frac{0}{N} \binom {N}{0} + \frac{1}{N} \binom {N}{1} + \cdots + \frac {n - 1}{N} \binom {N}{n - 1} + \frac{n}{N} \binom {N}{n} + \frac {n - 1}{N} \binom {N}{n + 1} + \cdots + \frac{1}{N} \binom {N}{N - 1} + \frac{0}{N} \binom {N}{N} \right ]$. (1)
Если подставить в это выражение формулу для биномиальных коэффициентов и произвести необходимые сокращения, то с точностью до слагаемого
$ \frac {(N - 1)!}{n!}(n - 1)! = \binom {N - 1}{n}$
получим $ \sum \binom {N - 1}{x}$, где суммирование ведется по всем возможным значениям $x$. Следовательно, мы можем переписать выражение (1) в виде
$2^( - N + 1) \left [ 2^(N - 1) - \binom {N - 1}{n} \right ] = 1 - \frac { \binom {N - 1}{n}}{2^{N - 1}}$. (2)
Отсюда видно, что вероятность отсутствия ничьей есть
$ \frac { \binom {N - 1}{n}}{2^{N - 1}}$,
что после небольших преобразований может быть записано в виде
$ \frac {\binom {N}{n}}{2^N}$,
как было указано выше.
Игроки $A$ и $B$ в орлянку играют $N$ раз. После первого бросания каковы шансы на то, что в течение всей игры их выигрыши не совпадут?
Решение:
Ниже мы обобщим метод решения задачи 3874 и покажем, что вероятность отсутствия ничейного результата (при $N$ четном и $N$ нечетном) равна
$P (нет \: ничьей) \frac{\binom {N - 1}{n}}{2^{N - 1}}, N = 2n + 1$,
$P (нет \: ничьей) \frac{\binom {N}{n}}{2^N}, N = 2n$.
Эти формулы показывают, что указанная вероятность одна и та же для четного $N$ и для следующего за ним нечетного числа $N + 1$. Например, когда $N = 4$, надо применить вторую формулу. Шестнадцатью возможными исходами являются
$*AAAA$ $BAAA$ $ABBA$ $BABB$
$*AAAB$ $AABB$ $BABA$ $*BBAB$
$*AABA$ $ABAB$ $BBAA$ $*BBBA$
$ABAA$ $BAAB$ $ABBB$ $*BBBB$
где звездочкой отмечены комбинации с равновесным положением.
Поскольку число сочетаний из 4 по 2 равно 6, то вторая формула действительно верна для этого значения $N$.
При $N = 2n$ вероятность $x$ выигрышей $A$ есть $\frac{\binom {N}{x}}{2^N}$. Если $x \leq n$, то вероятность ничьей есть
$2x/N$ (на основании задачи 3874), а при $x \geq n$ эта вероятность равна $ \frac {2(N - x)}{N}$. Чтобы получить вероятность ничьей, находим вероятность $x$ выигрышей, умножим ее на условную вероятность ничьей при $x$ выигрышах и просуммируем полученные выражения, что дает
$2 ( 2^{ - N}) \left [ \frac{0}{N} \binom {N}{0} + \frac{1}{N} \binom {N}{1} + \cdots + \frac {n - 1}{N} \binom {N}{n - 1} + \frac{n}{N} \binom {N}{n} + \frac {n - 1}{N} \binom {N}{n + 1} + \cdots + \frac{1}{N} \binom {N}{N - 1} + \frac{0}{N} \binom {N}{N} \right ]$. (1)
Если подставить в это выражение формулу для биномиальных коэффициентов и произвести необходимые сокращения, то с точностью до слагаемого
$ \frac {(N - 1)!}{n!}(n - 1)! = \binom {N - 1}{n}$
получим $ \sum \binom {N - 1}{x}$, где суммирование ведется по всем возможным значениям $x$. Следовательно, мы можем переписать выражение (1) в виде
$2^( - N + 1) \left [ 2^(N - 1) - \binom {N - 1}{n} \right ] = 1 - \frac { \binom {N - 1}{n}}{2^{N - 1}}$. (2)
Отсюда видно, что вероятность отсутствия ничьей есть
$ \frac { \binom {N - 1}{n}}{2^{N - 1}}$,
что после небольших преобразований может быть записано в виде
$ \frac {\binom {N}{n}}{2^N}$,
как было указано выше.
