Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3875
2019-06-23 
После выборов, в которых участвуют два кандидата, $A$ и $B$, за них поступило $a$ и $b$ ($a > b$) бюллетеней соответственно, скажем, 3 и 2. Если подсчет голосов производится последовательным извлечением бюллетеней из урны, то какова вероятность того, что хотя бы один раз число вынутых бюллетеней, поданных за $A$ и $B$, было одинаково?
Решение:
При $a = 3$ и $b = 2$ всеми возможными равновероятными последовательностями извлечения бюллетеней являются следующие:
$AAABB$ $*AABBA$ $*ABBAA$
$AABAB$ $*ABABA$ $*BABAA$
$*ABAAB$ $*BAABA$ $*BBAAA$
$*BAAAB$
где звездочкой отмечены комбинации, в которых имеет место равновесное положение. Таким образом, в нашем случае искомая вероятность равна $\frac{8}{10}$.
Перейдем теперь к общей ситуации произвольных $a$ и $b$. Рассмотрим сначала те последовательности, в которых первое равновесное положение достигается в случае, когда подсчитаны $2n$ бюллетеней, $n \leq b$. Каждой последовательности, в которой $A$ лидирует до первого ничейного результата, соответствует единственная последовательность, в которой лидирует $B$. Так, при $n = 4$ последовательности
$AABABABB$
с лидером $A$ отвечает последовательность
$BBABABAA$
в которой лидирует $B$. Эта последовательность получается из первой заменой $A$ на $B$ и $B$ на $A$.
Итак, число последовательностей, в которых $A$ лидирует до первой ничьей, равно числу последовательностей с лидером $B$. Задача сводится, таким образом, к вычислению вероятности равновесного положения, до которого лидирует В.
Так как за $A$ подано большее количество голосов, то рано или поздно $A$ становится лидером. Если первый бюллетень подан за $B$, то ничья неизбежна. Единственной возможностью ничьей с $B$, лидирующим в начале, является случай, когда первый бюллетень подан за $B$. Вероятность того, что это так, равна $ \frac {b}{a + b}$. Но это же значение равно вероятности ничьей с лидирующим в начале $A$, и, таким образом, вероятность ничейного положения равна
$ \frac {2b}{a + b} = \frac {2}{r + 1}$,
где $r = \frac{a}{b}$. Заметим, что если $a$ много больше, чем $b$, т. е. когда $r$ велико, вероятность ничьей мала (что интуитивно вполне понятно) Формула верна также и при $b = a$, так как в этом случае вероятность ничьей равна единице.
После выборов, в которых участвуют два кандидата, $A$ и $B$, за них поступило $a$ и $b$ ($a > b$) бюллетеней соответственно, скажем, 3 и 2. Если подсчет голосов производится последовательным извлечением бюллетеней из урны, то какова вероятность того, что хотя бы один раз число вынутых бюллетеней, поданных за $A$ и $B$, было одинаково?
Решение:
При $a = 3$ и $b = 2$ всеми возможными равновероятными последовательностями извлечения бюллетеней являются следующие:
$AAABB$ $*AABBA$ $*ABBAA$
$AABAB$ $*ABABA$ $*BABAA$
$*ABAAB$ $*BAABA$ $*BBAAA$
$*BAAAB$
где звездочкой отмечены комбинации, в которых имеет место равновесное положение. Таким образом, в нашем случае искомая вероятность равна $\frac{8}{10}$.
Перейдем теперь к общей ситуации произвольных $a$ и $b$. Рассмотрим сначала те последовательности, в которых первое равновесное положение достигается в случае, когда подсчитаны $2n$ бюллетеней, $n \leq b$. Каждой последовательности, в которой $A$ лидирует до первого ничейного результата, соответствует единственная последовательность, в которой лидирует $B$. Так, при $n = 4$ последовательности
$AABABABB$
с лидером $A$ отвечает последовательность
$BBABABAA$
в которой лидирует $B$. Эта последовательность получается из первой заменой $A$ на $B$ и $B$ на $A$.
Итак, число последовательностей, в которых $A$ лидирует до первой ничьей, равно числу последовательностей с лидером $B$. Задача сводится, таким образом, к вычислению вероятности равновесного положения, до которого лидирует В.
Так как за $A$ подано большее количество голосов, то рано или поздно $A$ становится лидером. Если первый бюллетень подан за $B$, то ничья неизбежна. Единственной возможностью ничьей с $B$, лидирующим в начале, является случай, когда первый бюллетень подан за $B$. Вероятность того, что это так, равна $ \frac {b}{a + b}$. Но это же значение равно вероятности ничьей с лидирующим в начале $A$, и, таким образом, вероятность ничейного положения равна
$ \frac {2b}{a + b} = \frac {2}{r + 1}$,
где $r = \frac{a}{b}$. Заметим, что если $a$ много больше, чем $b$, т. е. когда $r$ велико, вероятность ничьей мала (что интуитивно вполне понятно) Формула верна также и при $b = a$, так как в этом случае вероятность ничьей равна единице.
