Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3872
2019-06-23 
С. Пепайс предложил Исааку Ньютону следующую задачу: Какое из событий более вероятно: (а) появление по крайней мере одной шестерки при подбрасывании 6 костей, (б) появление хотя бы двух шестерок при подбрасывании 12 костей и (в) появление не менее трех шестерок при бросании 18 костей?
Решение:
Когда-то Сэмуэль Пепайс послал Ньютону длинное и запутанное письмо по поводу новых игр с костями, которые он собирался опробовать. Для выяснения, какая из них выгоднее, Пепайсу нужен был ответ на сформулированный в условии задачи вопрос. Детали истории можно найти, например, в статье «Samuel Pepys, Isaac Newton and Probability», в журнале «American Statistician», Vol. 14, ? 4, Oct., 1960. На эту тему есть и другая литература. Насколько я знаю, решение этой задачи - единственная работа Ньютона по теории вероятностей.
Так как при бросании 6 костей в среднем появляется одна шестерка, при бросании 12 костей это среднее равно двум и при бросании 18 костей - трем, то часто считают, что вероятности указанных событий равны. Иногда полагают, что эта вероятность равна 1/2. Здесь довольно ясно видна разница между математическими ожиданиями и вероятностями. Если подбрасывается большое число костей, то вероятность того, что число шестерок не меньше среднего числа их появлений, действительно совсем немного превосходит 1/2. Таким образом, это эвристическое соображение оправдывается при большом числе подбрасываний, но при относительно малом их числе ситуация совсем другая. Для значительного числа костей распределение появления шестерок приближенно симметрично относительно среднего, и вероятность появления этого среднего мала. При небольшом же числе костей распределение асимметрично, и кроме того, вероятность появления числа шестерок, в точности равного его математическому ожиданию, достаточно велика.
Начнем с вычисления вероятности появления ровно одной шестерки при 6 бросаниях. Вероятность появления одной шестерки и пяти других очков в некотором определенном порядке равна $\left ( \frac{1}{6} \right ) \left ( \frac{5}{6} \right )^5$. Искомая вероятность получается умножением этого количества на число возможных способов упорядочения одной шестерки и пяти других очков. В задаче 3871 мы нашли, что это число равно $ \binom {6}{1}$. Таким образом, вероятность появления ровно одной шестерки равна
$\binom{6}{1} \frac{1}{6} \left ( \frac{5}{6} \right )^5$.
Аналогично, вероятность появления ровно $x$ тестеров при бросании шести костей равна
$ \binom {6}{1} \left ( \frac{1}{6} \right ) \left ( \frac{5}{6} \right )^{6 - x}, x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$.
Вообще вероятность появления х шестерок при п бросаниях равна
$ \binom {n}{x} \left ( \frac{1}{6} \right )^x \left ( \frac{5}{6} \right )^{n - x}, x = 0, 1, \cdots, n$.
Эта формула задает вероятности, отвечающие так называемому биномиальному закону.
Вероятность появления хотя бы одной шестерки при шести бросаниях равна
$1 - \binom {6}{0} \left ( \frac{1}{6} \right )^0 \left ( \frac{5}{6} \right )^6 \approx 0,665$.
При бросании $6n$ костей вероятность появления не менее $n$ шестерок равняется
$ \sum_{x = n}^{6n} \binom {6n}{x} \left ( \frac{1}{6} \right )^{x} \left ( \frac{5}{6} \right )^{n - x} = 1 - \sum_{x = 0}^{n- 1} \binom {6n}{x} \left ( \frac{1}{6} \right )^{x} \left ( \frac{5}{6} \right )^{n - x}$.
Ньютону пришлось самому вычислять эти вероятности. Мы же можем прибегнуть к помощи таблиц. Наша табличка дает вероятности получения числа шестерок, не меньшего, чем математическое ожидание числа их появления, в $6n$ бросаниях.
Итак, Пепайсу следовало предпочитать пари с шестью бросаниями пари с большим числом бросаний.
С. Пепайс предложил Исааку Ньютону следующую задачу: Какое из событий более вероятно: (а) появление по крайней мере одной шестерки при подбрасывании 6 костей, (б) появление хотя бы двух шестерок при подбрасывании 12 костей и (в) появление не менее трех шестерок при бросании 18 костей?
Решение:
Когда-то Сэмуэль Пепайс послал Ньютону длинное и запутанное письмо по поводу новых игр с костями, которые он собирался опробовать. Для выяснения, какая из них выгоднее, Пепайсу нужен был ответ на сформулированный в условии задачи вопрос. Детали истории можно найти, например, в статье «Samuel Pepys, Isaac Newton and Probability», в журнале «American Statistician», Vol. 14, ? 4, Oct., 1960. На эту тему есть и другая литература. Насколько я знаю, решение этой задачи - единственная работа Ньютона по теории вероятностей.
Так как при бросании 6 костей в среднем появляется одна шестерка, при бросании 12 костей это среднее равно двум и при бросании 18 костей - трем, то часто считают, что вероятности указанных событий равны. Иногда полагают, что эта вероятность равна 1/2. Здесь довольно ясно видна разница между математическими ожиданиями и вероятностями. Если подбрасывается большое число костей, то вероятность того, что число шестерок не меньше среднего числа их появлений, действительно совсем немного превосходит 1/2. Таким образом, это эвристическое соображение оправдывается при большом числе подбрасываний, но при относительно малом их числе ситуация совсем другая. Для значительного числа костей распределение появления шестерок приближенно симметрично относительно среднего, и вероятность появления этого среднего мала. При небольшом же числе костей распределение асимметрично, и кроме того, вероятность появления числа шестерок, в точности равного его математическому ожиданию, достаточно велика.
Начнем с вычисления вероятности появления ровно одной шестерки при 6 бросаниях. Вероятность появления одной шестерки и пяти других очков в некотором определенном порядке равна $\left ( \frac{1}{6} \right ) \left ( \frac{5}{6} \right )^5$. Искомая вероятность получается умножением этого количества на число возможных способов упорядочения одной шестерки и пяти других очков. В задаче 3871 мы нашли, что это число равно $ \binom {6}{1}$. Таким образом, вероятность появления ровно одной шестерки равна
$\binom{6}{1} \frac{1}{6} \left ( \frac{5}{6} \right )^5$.
Аналогично, вероятность появления ровно $x$ тестеров при бросании шести костей равна
$ \binom {6}{1} \left ( \frac{1}{6} \right ) \left ( \frac{5}{6} \right )^{6 - x}, x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$.
Вообще вероятность появления х шестерок при п бросаниях равна
$ \binom {n}{x} \left ( \frac{1}{6} \right )^x \left ( \frac{5}{6} \right )^{n - x}, x = 0, 1, \cdots, n$.
Эта формула задает вероятности, отвечающие так называемому биномиальному закону.
Вероятность появления хотя бы одной шестерки при шести бросаниях равна
$1 - \binom {6}{0} \left ( \frac{1}{6} \right )^0 \left ( \frac{5}{6} \right )^6 \approx 0,665$.
При бросании $6n$ костей вероятность появления не менее $n$ шестерок равняется
$ \sum_{x = n}^{6n} \binom {6n}{x} \left ( \frac{1}{6} \right )^{x} \left ( \frac{5}{6} \right )^{n - x} = 1 - \sum_{x = 0}^{n- 1} \binom {6n}{x} \left ( \frac{1}{6} \right )^{x} \left ( \frac{5}{6} \right )^{n - x}$.
Ньютону пришлось самому вычислять эти вероятности. Мы же можем прибегнуть к помощи таблиц. Наша табличка дает вероятности получения числа шестерок, не меньшего, чем математическое ожидание числа их появления, в $6n$ бросаниях.
Итак, Пепайсу следовало предпочитать пари с шестью бросаниями пари с большим числом бросаний.
