Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3871
2019-06-23 
При бросании 100 монет какова вероятность выпадения ровно 50 гербов?
Решение:
Расположим 100 монет в ряд слева направо и будем бросать каждую. Вероятность какой-то заданной последовательности, составленной из 100 гербов и решек, равна $\left ( \frac{1}{2} \right )^{100}$ в силу независимости испытаний. Например, вероятность того, что вначале выпадет 50 гербов и затем 50 решек, равна $\left ( \frac{1}{2} \right )^{100}$. Сколькими способами можно расположить 50 гербов и 50 решек в строку? В решении задачи 8 мы видели, что это число равно соответствующему биномиальному коэффициенту. Мы получаем $ \binom {100}{50} = \frac {100!}{50!50!}$. Следовательно, вероятность равного числа гербов и решек равна
$ \frac {100!}{50!50!} \cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{100}$.
Используя таблицы, получаем $0,07959 \approx 0,08$.
Формула Стирлинга
Для расчета больших значений факториалов часто пользуются формулой Стирлинга
$n! \approx \sqrt{2 \pi} \cdot n^{n + \frac{1}{2}} e^{-n}$,
где $e$ - основание натуральных логарифмов. Относительная погрешность этой формулы приблизительно равна $\frac{100}{12n}$ %. Применим формулу Стирлинга к расчету вероятности равновесия
$P (50 \: гербов) = \frac{ \sqrt {2 \pi }100^{100 + \frac{1}{2}} e^{-100}}{ \left ( \sqrt {2 \pi } 50^{50 + \frac{1}{2}} e^{-50} \right )^2} 2^{100} = \frac {100^{100 + \frac{1}{2}}}{ \sqrt {2 \pi } 50^{100} 50 \cdot 2^{100}} = \frac { \sqrt {100}}{ \sqrt {2 \pi } \cdot 50} = \frac {1}{5 \sqrt {2 \pi }}$.
Так как $ \frac {1}{ \sqrt {2 \pi }} \approx 0,4$, то наша приближенная формула дает 0,08, как и раньше. Более точное приближение с точностью до четвертого знака дает 0,0798 вместо 0,0796. Вывод формулы Стирлинга имеется в любом учебнике по дифференциальному и интегральному исчислению.
При бросании 100 монет какова вероятность выпадения ровно 50 гербов?
Решение:
Расположим 100 монет в ряд слева направо и будем бросать каждую. Вероятность какой-то заданной последовательности, составленной из 100 гербов и решек, равна $\left ( \frac{1}{2} \right )^{100}$ в силу независимости испытаний. Например, вероятность того, что вначале выпадет 50 гербов и затем 50 решек, равна $\left ( \frac{1}{2} \right )^{100}$. Сколькими способами можно расположить 50 гербов и 50 решек в строку? В решении задачи 8 мы видели, что это число равно соответствующему биномиальному коэффициенту. Мы получаем $ \binom {100}{50} = \frac {100!}{50!50!}$. Следовательно, вероятность равного числа гербов и решек равна
$ \frac {100!}{50!50!} \cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{100}$.
Используя таблицы, получаем $0,07959 \approx 0,08$.
Формула Стирлинга
Для расчета больших значений факториалов часто пользуются формулой Стирлинга
$n! \approx \sqrt{2 \pi} \cdot n^{n + \frac{1}{2}} e^{-n}$,
где $e$ - основание натуральных логарифмов. Относительная погрешность этой формулы приблизительно равна $\frac{100}{12n}$ %. Применим формулу Стирлинга к расчету вероятности равновесия
$P (50 \: гербов) = \frac{ \sqrt {2 \pi }100^{100 + \frac{1}{2}} e^{-100}}{ \left ( \sqrt {2 \pi } 50^{50 + \frac{1}{2}} e^{-50} \right )^2} 2^{100} = \frac {100^{100 + \frac{1}{2}}}{ \sqrt {2 \pi } 50^{100} 50 \cdot 2^{100}} = \frac { \sqrt {100}}{ \sqrt {2 \pi } \cdot 50} = \frac {1}{5 \sqrt {2 \pi }}$.
Так как $ \frac {1}{ \sqrt {2 \pi }} \approx 0,4$, то наша приближенная формула дает 0,08, как и раньше. Более точное приближение с точностью до четвертого знака дает 0,0798 вместо 0,0796. Вывод формулы Стирлинга имеется в любом учебнике по дифференциальному и интегральному исчислению.
