Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3868
2019-06-23 
Восемь юношей и семь девушек независимо приобрели по одному билету в одном и том же театральном ряду, насчитывающем 15 мест. Какое среднее число смежных мест занимают в этом ряду пары?
Решение:
Например, если ряд заполнен следующим образом
$BBMMBBMBMBMBBMM$
{здесь $B$ обозначает юношу, а $M$ - девушку), то имеется 9 пар $BM$ и $MB$.
Нас интересует среднее число таких пар. Если первые два места в ряду заняты лицами разных полов, то у нас уже имеется искомая пара. Вероятность этого события равна
$\frac{8}{15} \cdot \frac{7}{14} + \frac{7}{15} \cdot \frac{8}{14} = \frac{8}{15}$.
Более того, $\frac{8}{15}$ есть и среднее число пар на первых двух местах, так как
$\frac{8}{15} \cdot 1 + \frac{7}{15} \cdot 0 = \frac{8}{15}$.
Такое же рассуждение применимо к каждой паре смежных мест.
Для определения среднего числа пар молодых людей эту величину надо умножить на число смежных мест, равное 14, что дает $\frac{112}{15}$.
Более общим образом, если есть $b$ объектов одного рода и $m$ другого, располагаемых случайным образом в ряд, то среднее число пар, составленных из различных объектов, равно
$(m + b - 1) \left [ \frac {bm}{(b + m) \cdot (m + b - 1)} + \frac {mb}{(m + b) \cdot (m + b - 1)} \right ] = \frac {2mb}{m + b}$.
В нашем примере $b$ = 8, $m$ = 7, и ответ равен $\frac{112}{15}$.
Здесь мы существенным образом использовали тот факт, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Мы нашли среднее число пар $BM$ или $MB$ для каждых двух смежных мест и просуммировали по всем таким двойкам.
Восемь юношей и семь девушек независимо приобрели по одному билету в одном и том же театральном ряду, насчитывающем 15 мест. Какое среднее число смежных мест занимают в этом ряду пары?
Решение:
Например, если ряд заполнен следующим образом
$BBMMBBMBMBMBBMM$
{здесь $B$ обозначает юношу, а $M$ - девушку), то имеется 9 пар $BM$ и $MB$.
Нас интересует среднее число таких пар. Если первые два места в ряду заняты лицами разных полов, то у нас уже имеется искомая пара. Вероятность этого события равна
$\frac{8}{15} \cdot \frac{7}{14} + \frac{7}{15} \cdot \frac{8}{14} = \frac{8}{15}$.
Более того, $\frac{8}{15}$ есть и среднее число пар на первых двух местах, так как
$\frac{8}{15} \cdot 1 + \frac{7}{15} \cdot 0 = \frac{8}{15}$.
Такое же рассуждение применимо к каждой паре смежных мест.
Для определения среднего числа пар молодых людей эту величину надо умножить на число смежных мест, равное 14, что дает $\frac{112}{15}$.
Более общим образом, если есть $b$ объектов одного рода и $m$ другого, располагаемых случайным образом в ряд, то среднее число пар, составленных из различных объектов, равно
$(m + b - 1) \left [ \frac {bm}{(b + m) \cdot (m + b - 1)} + \frac {mb}{(m + b) \cdot (m + b - 1)} \right ] = \frac {2mb}{m + b}$.
В нашем примере $b$ = 8, $m$ = 7, и ответ равен $\frac{112}{15}$.
Здесь мы существенным образом использовали тот факт, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Мы нашли среднее число пар $BM$ или $MB$ для каждых двух смежных мест и просуммировали по всем таким двойкам.
