Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3867
2019-06-23 
Купоны в коробках занумерованы цифрами от 1 до 5, и для того, чтобы выиграть, надо набрать полный комплект из пяти купонов с разными номерами. Если из коробки вынимается один купон, то сколько коробок в среднем надо испытать, чтобы получить полный комплект?
Решение:
Из первой коробки мы достаем один купон. Далее, вероятность получить новый номер из второй коробки равна 4/5. Используя ответ задачи 4, видим, что приобретение нового номера потребует в среднем $\left ( \frac{4}{5} \right )^{ - 1} = \frac{5}{4}$ коробок. Третий номер потребует $\left ( \frac{3}{5} \right )^{ - 1} = \frac{5}{3}$, четвертый $\frac{5}{2}$, пятый 5 коробок.
Таким образом, среднее число коробок равно
$ 5 \cdot \left ( \frac{1}{5} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1 \right ) \approx 11,42$.
Формула Эйлера для сумм гармонического ряда.
Хотя в данном случае указанные дроби нетрудно сложить, но когда в комплекте большое число купонов, удобно применить формулу Эйлера для частичных сумм гармонического ряда
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} \approx \log {n} + \frac{1}{2n} + C$.
(Число $C = 0,57721$ ... называется постоянной Эйлера.) В случае комплекта из $n$ купонов среднее число коробок приближенно равно
$n \log {n} + 0,577n + \frac{1}{2}$.
Поскольку $\log {5} \approx 1,6094$, формула Эйлера при $n = 5$ дает 11,43, что весьма близко к 11,42. Членом $\frac{1}{2n}$ в формуле Эйлера часто пренебрегают.
Купоны в коробках занумерованы цифрами от 1 до 5, и для того, чтобы выиграть, надо набрать полный комплект из пяти купонов с разными номерами. Если из коробки вынимается один купон, то сколько коробок в среднем надо испытать, чтобы получить полный комплект?
Решение:
Из первой коробки мы достаем один купон. Далее, вероятность получить новый номер из второй коробки равна 4/5. Используя ответ задачи 4, видим, что приобретение нового номера потребует в среднем $\left ( \frac{4}{5} \right )^{ - 1} = \frac{5}{4}$ коробок. Третий номер потребует $\left ( \frac{3}{5} \right )^{ - 1} = \frac{5}{3}$, четвертый $\frac{5}{2}$, пятый 5 коробок.
Таким образом, среднее число коробок равно
$ 5 \cdot \left ( \frac{1}{5} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1 \right ) \approx 11,42$.
Формула Эйлера для сумм гармонического ряда.
Хотя в данном случае указанные дроби нетрудно сложить, но когда в комплекте большое число купонов, удобно применить формулу Эйлера для частичных сумм гармонического ряда
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} \approx \log {n} + \frac{1}{2n} + C$.
(Число $C = 0,57721$ ... называется постоянной Эйлера.) В случае комплекта из $n$ купонов среднее число коробок приближенно равно
$n \log {n} + 0,577n + \frac{1}{2}$.
Поскольку $\log {5} \approx 1,6094$, формула Эйлера при $n = 5$ дает 11,43, что весьма близко к 11,42. Членом $\frac{1}{2n}$ в формуле Эйлера часто пренебрегают.
