Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3866
2019-06-23 
Три узника, $A$, $B$ и $C$, одинаково хорошего поведения ходатайствовали об освобождении на поруки. Администрация решила освободить двух из трех, что стало известно узникам, которые, однако, не знают, кто именно эти двое. У заключенного $A$ в охране есть друг, который знает, кого отпустят на свободу, но $A$ считает неэтичным осведомиться у охранника, будет ли он, $A$, освобожден. Все же $A$ хочет спросить об имени одного узника, отличного от самого $A$, который будет отпущен на свободу. Прежде чем спрашивать, он оценивает вероятность своего освобождения как 2/3. $A$ думает, что если охранник скажет «$B$ будет освобожден», то его шансы уменьшатся до 1/2, так как в этом случае будут освобождены либо $A$ и $B$, либо $B$ и $C$. Однако $A$ ошибается в своих расчетах. Объясните это.
Решение:
Из всех задач, о которых пишут автору, настоящая доставила наибольшее количество писем.
Ошибка в рассуждении $A$ состоит в том, что он не перечислил всех возможных событий должным образом. Выражаясь математически, узник неправильно построил пространство элементарных событий. Он считает, что опыт имеет три возможных исхода: освобождение пар $AB$, $AC$, $BC$ с равными вероятностями. С точки зрения заключенного - это правильно построенное пространство элементарных событий для эксперимента, проводимого администрацией, которая освобождает двух узников из трех. Но эксперимент $A$ включает еще один момент - ответ охранника. Возможные исходы для такого эксперимента и разумные вероятности для них будут:
1) $A$ и $B$ освобождаются, и охранник говорит $B$, вероятность 1/3.
2) $A$ и $C$ освобождаются, и охранник говорит $C$, вероятность 1/3.
3) $B$ и $C$ освобождаются, и охранник говорит $B$, вероятность 1/6.
4) $B$ и $C$ освобождаются, и охранник говорит $C$, вероятность 1/6.
Если на вопрос $A$ охранник отвечает $B$, то апостериорная вероятность освобождения $A$ равна вероятности исхода 1, деленной на сумму вероятностей исходов 1 и 3. Таким образом, вероятность освобождения $A$ равна $ \frac { \frac{1}{3} }{ \frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = \frac{2}{3}$, так что математический расчет в конце концов отвечает здравому смыслу.
Три узника, $A$, $B$ и $C$, одинаково хорошего поведения ходатайствовали об освобождении на поруки. Администрация решила освободить двух из трех, что стало известно узникам, которые, однако, не знают, кто именно эти двое. У заключенного $A$ в охране есть друг, который знает, кого отпустят на свободу, но $A$ считает неэтичным осведомиться у охранника, будет ли он, $A$, освобожден. Все же $A$ хочет спросить об имени одного узника, отличного от самого $A$, который будет отпущен на свободу. Прежде чем спрашивать, он оценивает вероятность своего освобождения как 2/3. $A$ думает, что если охранник скажет «$B$ будет освобожден», то его шансы уменьшатся до 1/2, так как в этом случае будут освобождены либо $A$ и $B$, либо $B$ и $C$. Однако $A$ ошибается в своих расчетах. Объясните это.
Решение:
Из всех задач, о которых пишут автору, настоящая доставила наибольшее количество писем.
Ошибка в рассуждении $A$ состоит в том, что он не перечислил всех возможных событий должным образом. Выражаясь математически, узник неправильно построил пространство элементарных событий. Он считает, что опыт имеет три возможных исхода: освобождение пар $AB$, $AC$, $BC$ с равными вероятностями. С точки зрения заключенного - это правильно построенное пространство элементарных событий для эксперимента, проводимого администрацией, которая освобождает двух узников из трех. Но эксперимент $A$ включает еще один момент - ответ охранника. Возможные исходы для такого эксперимента и разумные вероятности для них будут:
1) $A$ и $B$ освобождаются, и охранник говорит $B$, вероятность 1/3.
2) $A$ и $C$ освобождаются, и охранник говорит $C$, вероятность 1/3.
3) $B$ и $C$ освобождаются, и охранник говорит $B$, вероятность 1/6.
4) $B$ и $C$ освобождаются, и охранник говорит $C$, вероятность 1/6.
Если на вопрос $A$ охранник отвечает $B$, то апостериорная вероятность освобождения $A$ равна вероятности исхода 1, деленной на сумму вероятностей исходов 1 и 3. Таким образом, вероятность освобождения $A$ равна $ \frac { \frac{1}{3} }{ \frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = \frac{2}{3}$, так что математический расчет в конце концов отвечает здравому смыслу.
