Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3862
2019-06-23 
Часто приходится слышать, что некто при игре в бридж получил на руки 13 пик. Какова вероятность, при условии, что карты хорошо перетасованы, получить 13 карт одной масти? (Каждый из четырех игроков в бридж получает 13 карт из колоды в 52 карты.)
Решение:
Решение задачи о «масти» при игре в бридж. Эта вероятность ничтожно мала. Так как колода хорошо перетасована, можно считать, что 13 карт сняты сверху. Для получения 13 карт одной масти нужно, вытащив сначала любую из 52 карт, извлечь затем все карты той" же масти (которых всего 13 штук) Итак, число способов получения «масти» равно
$52 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 52 \cdot 121$.
Общее же число способов извлечения 13 карт из 52 равно
$52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 = \frac{52!}{39!}$.
Искомая вероятность равна $\frac{52 \cdot 12!}{52!39!} = \frac{12!39!}{51!}$. Обратная величина может трактоваться как среднее число игр до появления «масти».
Находим:
$\log 12! = 8,68034$, $\log 51!= 66,19065$,
$\log 39 = 46,30959$, $\log (12!39!) = 54,98993$,
$\log (12!39!) = 54,98993$, $\log \left ( \frac{12!39!}{51!} \right ) = 11.20072$,
$\frac{12!39!}{51!} = 1,588 \cdot 10^{-11}$.
При вычислениях такого рода точный ответ часто приводит в замешательство. Что из того, что в одном из 160 биллионов случаев имеется возможность получить «масть»? Сколь часто должны мы были бы слышать о таком событии? Явно завышая числа, предположим, что в США в бридж играют 10 миллионов, и что каждый игрок играет 10 раз всякий день в году. Это дает $36 \frac{1}{2}$ биллионов игр в год, так что исключительную сдачу можно ожидать один раз в 4 года (причем о некоторых из них заведомо не будет объявлено публично) Даже в два раза большее количество игроков, которые играют к тому же в два раза чаще, привело бы лишь к одной такой сдаче в течение года.
Чем можно объяснить значительную большую частоту сообщений о появлении «масти»? Многими причинами, среди которых следует назвать склеивание карт и плохое тасование. (Нашумевший случай «масти», действительно имевший место, произошел при первой раздаче новой колоды.)
Несомненно также, что некоторые репортеры стали жертвами шуток и мистификаций. Если вы подстроили своей бабушке «масть» в день ее рождения и хотите потом сознаться в этом, то вы, наверное, все же промолчите, после того как об этом исключительном событии будут оповещены все родственники, друзья и. репортеры. С другой стороны, ввиду внимания к столь редким явлениям, кажется неправдоподобным, чтобы такую комбинацию подстраивали шулера.
Несколько другим путем решения этой задачи является применение биномиальных коэффициентов, которые равны числу различных способов размещений $a$ элементов одного рода и $b$ элементов другого в строку. Например, 3 буквы $a$ и 2 буквы $b$ могут быть записаны подряд 10 различными способами, что нетрудно проверить на пальцах, начиная с $aaabb$ и кончая $bbaaa$. Биномиальный коэффициент записывается в этом случае как $\binom{5}{2}$ и равен числу способов различного упорядочения пяти предметов, два из которых одного рода и три другого. С помощью факториалов этот коэффициент перепишется в виде
$\binom{5}{2} = \frac {5!}{2!3!} = \frac {5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10$.
В более общей ситуации, когда имеется $n$ предметов, из которых $a$ одного рода, и $n-a$ - другого, число способов их упорядочения дается формулой
$\binom{n}{a} = \frac {n!}{a!(n-a)!}$.
В нашей задаче число способов выбрать 13 карт из полной колоды равно
$\binom {52}{13} = \frac {52!}{13!39!}$.
Тринадцать пик можно получить
$\binom {13}{13} = \frac {13!}{13!0!} = 1$
способом, так как $0! = 1$. Учитывая, что имеется четыре масти, получим окончательно вероятность в виде $4 \cdot 13!39!/52!$, как уже было установлено ранее.
Часто приходится слышать, что некто при игре в бридж получил на руки 13 пик. Какова вероятность, при условии, что карты хорошо перетасованы, получить 13 карт одной масти? (Каждый из четырех игроков в бридж получает 13 карт из колоды в 52 карты.)
Решение:
Решение задачи о «масти» при игре в бридж. Эта вероятность ничтожно мала. Так как колода хорошо перетасована, можно считать, что 13 карт сняты сверху. Для получения 13 карт одной масти нужно, вытащив сначала любую из 52 карт, извлечь затем все карты той" же масти (которых всего 13 штук) Итак, число способов получения «масти» равно
$52 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 52 \cdot 121$.
Общее же число способов извлечения 13 карт из 52 равно
$52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 = \frac{52!}{39!}$.
Искомая вероятность равна $\frac{52 \cdot 12!}{52!39!} = \frac{12!39!}{51!}$. Обратная величина может трактоваться как среднее число игр до появления «масти».
Находим:
$\log 12! = 8,68034$, $\log 51!= 66,19065$,
$\log 39 = 46,30959$, $\log (12!39!) = 54,98993$,
$\log (12!39!) = 54,98993$, $\log \left ( \frac{12!39!}{51!} \right ) = 11.20072$,
$\frac{12!39!}{51!} = 1,588 \cdot 10^{-11}$.
При вычислениях такого рода точный ответ часто приводит в замешательство. Что из того, что в одном из 160 биллионов случаев имеется возможность получить «масть»? Сколь часто должны мы были бы слышать о таком событии? Явно завышая числа, предположим, что в США в бридж играют 10 миллионов, и что каждый игрок играет 10 раз всякий день в году. Это дает $36 \frac{1}{2}$ биллионов игр в год, так что исключительную сдачу можно ожидать один раз в 4 года (причем о некоторых из них заведомо не будет объявлено публично) Даже в два раза большее количество игроков, которые играют к тому же в два раза чаще, привело бы лишь к одной такой сдаче в течение года.
Чем можно объяснить значительную большую частоту сообщений о появлении «масти»? Многими причинами, среди которых следует назвать склеивание карт и плохое тасование. (Нашумевший случай «масти», действительно имевший место, произошел при первой раздаче новой колоды.)
Несомненно также, что некоторые репортеры стали жертвами шуток и мистификаций. Если вы подстроили своей бабушке «масть» в день ее рождения и хотите потом сознаться в этом, то вы, наверное, все же промолчите, после того как об этом исключительном событии будут оповещены все родственники, друзья и. репортеры. С другой стороны, ввиду внимания к столь редким явлениям, кажется неправдоподобным, чтобы такую комбинацию подстраивали шулера.
Несколько другим путем решения этой задачи является применение биномиальных коэффициентов, которые равны числу различных способов размещений $a$ элементов одного рода и $b$ элементов другого в строку. Например, 3 буквы $a$ и 2 буквы $b$ могут быть записаны подряд 10 различными способами, что нетрудно проверить на пальцах, начиная с $aaabb$ и кончая $bbaaa$. Биномиальный коэффициент записывается в этом случае как $\binom{5}{2}$ и равен числу способов различного упорядочения пяти предметов, два из которых одного рода и три другого. С помощью факториалов этот коэффициент перепишется в виде
$\binom{5}{2} = \frac {5!}{2!3!} = \frac {5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10$.
В более общей ситуации, когда имеется $n$ предметов, из которых $a$ одного рода, и $n-a$ - другого, число способов их упорядочения дается формулой
$\binom{n}{a} = \frac {n!}{a!(n-a)!}$.
В нашей задаче число способов выбрать 13 карт из полной колоды равно
$\binom {52}{13} = \frac {52!}{13!39!}$.
Тринадцать пик можно получить
$\binom {13}{13} = \frac {13!}{13!0!} = 1$
способом, так как $0! = 1$. Учитывая, что имеется четыре масти, получим окончательно вероятность в виде $4 \cdot 13!39!/52!$, как уже было установлено ранее.
