Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3858
2019-06-23 
Испытания до первого успеха. Сколько в среднем раз надо бросать кость до появления шестерки?
Решение:
Кажется ясным, что ответ должен быть 6. Чтобы это проверить, обозначим через $p$ вероятность появления шестерки. Тогда вероятности первого успеха при данном испытании равны $(q = 1 - p)$:
Сумма вероятностей равна
$p + pq + pq^2 + \cdots = p(1+q + q^2 + \cdots) = \frac {p}{1-q} = \frac{p}{q} = 1$.
Среднее число испытаний $m$ до первого успеха по определению равно
$m = p + 2pq + 3pq^2 + 4pq^3 + \cdots$.
Для нахождения суммы такого ряда применим обычный прием суммирования геометрических рядов
$qm = pq + 2pq^2 + 3pq^3 + \cdots$.
Вычитая второе выражение из первого, находим
$m - qm = p + pq + pq^2 + \cdots$
или
$m (1-q) = 1, mp = 1$ и $m = \frac{1}{p}$.
В нашем примере $p = \frac{1}{6}$, так что $m = 6$.
Предыдущие вычисления были проведены подробно, так как геометрическое распределение часто встречается в этой книге. Красивый способ решения этой задачи дается следующим рассуждением: если первое испытание закончилось неудачей, то условное среднее число испытаний равно $1 + m$, а если первое испытание закончилось успехом, то условное среднее число испытаний равно 1. Поэтому
$n = p \cdot 1 + q (1+m) = 1 + qm$ и $m = \frac{1}{p}$.
Испытания до первого успеха. Сколько в среднем раз надо бросать кость до появления шестерки?
Решение:
Кажется ясным, что ответ должен быть 6. Чтобы это проверить, обозначим через $p$ вероятность появления шестерки. Тогда вероятности первого успеха при данном испытании равны $(q = 1 - p)$:
Сумма вероятностей равна
$p + pq + pq^2 + \cdots = p(1+q + q^2 + \cdots) = \frac {p}{1-q} = \frac{p}{q} = 1$.
Среднее число испытаний $m$ до первого успеха по определению равно
$m = p + 2pq + 3pq^2 + 4pq^3 + \cdots$.
Для нахождения суммы такого ряда применим обычный прием суммирования геометрических рядов
$qm = pq + 2pq^2 + 3pq^3 + \cdots$.
Вычитая второе выражение из первого, находим
$m - qm = p + pq + pq^2 + \cdots$
или
$m (1-q) = 1, mp = 1$ и $m = \frac{1}{p}$.
В нашем примере $p = \frac{1}{6}$, так что $m = 6$.
Предыдущие вычисления были проведены подробно, так как геометрическое распределение часто встречается в этой книге. Красивый способ решения этой задачи дается следующим рассуждением: если первое испытание закончилось неудачей, то условное среднее число испытаний равно $1 + m$, а если первое испытание закончилось успехом, то условное среднее число испытаний равно 1. Поэтому
$n = p \cdot 1 + q (1+m) = 1 + qm$ и $m = \frac{1}{p}$.
