Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3856
2019-06-23 
Чтобы подбодрить сына, делающего успехи в игре в теннис, отец обещает ему приз, если он выиграет подряд по крайней мере две теннисные партии против своего отца и клубного чемпиона по одной из схем: отец - чемпион - отец или чемпион - отец - чемпион по выбору сына. Чемпион играет лучше отца. Какую схему следует выбрать сыну?
Решение:
Поскольку чемпион играет лучше отца, сыну следует играть с ним поменьше партий. С другой стороны, вторая партия - основная, так как сын не может выиграть дважды подряд, не выиграв вторую партию. Пусть $С$ означает чемпиона, $F$ - отца, $W$ и $L$ - выигрыш и проигрыш сына. Пусть, далее, $f$ есть вероятность того, что сын выиграет у отца, а $c$ - вероятность того, что он выиграет у чемпиона. Считается, что выигрыши сына независимы. В следующей ниже таблице приводятся возможные результаты и их вероятности.
Так как отец играет хуже чемпиона, $f > c$ и $2 - f < 2 - c$, так что сыну нужно выбрать вариант $CFC$. Например, если $f = 0,8, c = 0,4$, то вероятность получить приз при схеме $FCF$ равна 0,384, а при схеме $CFC$ - 0,512. Таким образом, большая вероятность выигрыша второй партии перевешивает невыгоды игры два раза с чемпионом.
Многие предполагают, что чем больше математическое ожидание числа успехов, тем больше вероятность выиграть приз, и часто такой подход бывает правильным. Но в данной задаче есть условия, нарушающие такие рассуждения по аналогии.
Среднее число выигрышей по схеме $CFC$ равно $2c +f$, и оно меньше, чем среднее число побед для схемы $FCF$, $2f + c$. В нашем числовом примере при $f = 0,8$ и $c = 0,4$ эти средние равны, соответственно, 2 и 1,6. Такое «противоречие» придает задаче специальный интерес.
Чтобы подбодрить сына, делающего успехи в игре в теннис, отец обещает ему приз, если он выиграет подряд по крайней мере две теннисные партии против своего отца и клубного чемпиона по одной из схем: отец - чемпион - отец или чемпион - отец - чемпион по выбору сына. Чемпион играет лучше отца. Какую схему следует выбрать сыну?
Решение:
Поскольку чемпион играет лучше отца, сыну следует играть с ним поменьше партий. С другой стороны, вторая партия - основная, так как сын не может выиграть дважды подряд, не выиграв вторую партию. Пусть $С$ означает чемпиона, $F$ - отца, $W$ и $L$ - выигрыш и проигрыш сына. Пусть, далее, $f$ есть вероятность того, что сын выиграет у отца, а $c$ - вероятность того, что он выиграет у чемпиона. Считается, что выигрыши сына независимы. В следующей ниже таблице приводятся возможные результаты и их вероятности.
Так как отец играет хуже чемпиона, $f > c$ и $2 - f < 2 - c$, так что сыну нужно выбрать вариант $CFC$. Например, если $f = 0,8, c = 0,4$, то вероятность получить приз при схеме $FCF$ равна 0,384, а при схеме $CFC$ - 0,512. Таким образом, большая вероятность выигрыша второй партии перевешивает невыгоды игры два раза с чемпионом.
Многие предполагают, что чем больше математическое ожидание числа успехов, тем больше вероятность выиграть приз, и часто такой подход бывает правильным. Но в данной задаче есть условия, нарушающие такие рассуждения по аналогии.
Среднее число выигрышей по схеме $CFC$ равно $2c +f$, и оно меньше, чем среднее число побед для схемы $FCF$, $2f + c$. В нашем числовом примере при $f = 0,8$ и $c = 0,4$ эти средние равны, соответственно, 2 и 1,6. Такое «противоречие» придает задаче специальный интерес.
