Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3855
2019-06-23 
Ящик с носками. В ящике лежат красные и черные носки. Если из ящика наудачу вытягиваются два носка, то вероятность того, что оба они красные, равна $\frac{1}{2}$.
(а) Каково минимальное возможное число носков в ящике?
(б) Каково минимально возможное число носков в ящике, если число черных носков четно?
Решение:
Заметим что $\frac {r}{r+b}> \frac {r-1}{r + b - 1}$ при $b > 0$.
Отсюда следует неравенство
$\left (\frac {r}{r+b} \right )^2 > \frac{1}{2} > \left ( \frac {r-1}{r+b-1} \right )^2$.
Извлекая квадратные корни, для $r>1$ получаем
$\frac {r}{r+b}> \frac {1}{\sqrt {2}} > \frac {r-1}{r+b-1}$.
Из первого неравенства имеем
$r > \frac {1}{\sqrt{2}}(r+b)$,
или
$r > \frac {1}{\sqrt {2} - 1}b = (\sqrt {2} + 1)b$.
Из второго неравенства находим
$(\sqrt {2}+1)b > (r-1)$,
так что
$(\sqrt {2}+1)b+1 > r > (\sqrt {2}+1)b$.
Для $b = 1$ получаем
$2,414 < r < 3,414$,
так что можно взять $r = 3$. При $ r = 3, b = 1$ имеем
$P (\: два \: красных \: носка) = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$.
Таким образом, минимальное число носков есть 4, Рассмотрим теперь четные значения $b$.
Таким образом, минимальное число носков в ящике есть 21 при условии, что $b$ четно. Если интересоваться всеми значениями $r$ и $b$ такими, что вероятность извлечения двух красных носков равна 1/2, то следует использовать методы теории чисел. Этот вопрос приводит к знаменитому уравнению Пелла. Возьмите, например, $r = 85, b = 35$.
Ящик с носками. В ящике лежат красные и черные носки. Если из ящика наудачу вытягиваются два носка, то вероятность того, что оба они красные, равна $\frac{1}{2}$.
(а) Каково минимальное возможное число носков в ящике?
(б) Каково минимально возможное число носков в ящике, если число черных носков четно?
Решение:
Заметим что $\frac {r}{r+b}> \frac {r-1}{r + b - 1}$ при $b > 0$.
Отсюда следует неравенство
$\left (\frac {r}{r+b} \right )^2 > \frac{1}{2} > \left ( \frac {r-1}{r+b-1} \right )^2$.
Извлекая квадратные корни, для $r>1$ получаем
$\frac {r}{r+b}> \frac {1}{\sqrt {2}} > \frac {r-1}{r+b-1}$.
Из первого неравенства имеем
$r > \frac {1}{\sqrt{2}}(r+b)$,
или
$r > \frac {1}{\sqrt {2} - 1}b = (\sqrt {2} + 1)b$.
Из второго неравенства находим
$(\sqrt {2}+1)b > (r-1)$,
так что
$(\sqrt {2}+1)b+1 > r > (\sqrt {2}+1)b$.
Для $b = 1$ получаем
$2,414 < r < 3,414$,
так что можно взять $r = 3$. При $ r = 3, b = 1$ имеем
$P (\: два \: красных \: носка) = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$.
Таким образом, минимальное число носков есть 4, Рассмотрим теперь четные значения $b$.
Таким образом, минимальное число носков в ящике есть 21 при условии, что $b$ четно. Если интересоваться всеми значениями $r$ и $b$ такими, что вероятность извлечения двух красных носков равна 1/2, то следует использовать методы теории чисел. Этот вопрос приводит к знаменитому уравнению Пелла. Возьмите, например, $r = 85, b = 35$.
