Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3850
2019-06-16 
Выпуклый $p$-угольник ($p \geq 5$) разрезан по всем диагоналям. Докажите, что среди получившихся при этом частей найдутся части разной площади.
Решение:
Рассмотрим вершины $A_{p-1}, A_p, A_1, A_2, A_3$ и $A_4$ данного $р$-угольника. Проведем диагонали $A_1A_3, A_2A_4, A_pA_2, A_{p-1}A_2$. Пусть $B_1, B_2$ - точки пересечения диагонали $A_pA_2$ с $A_1A_4,$ и $A_1A_3$, а $B_4$, $B_3$ - точки пересечения $A_{p-1}A_2$ с теми же диагоналями. (Если $p = 5$, то $B_4 = A_4$.) Из равенства площадей следует, что $B_1B_2 = B_2A_2$ и $A_1B_2 = B_2B_3$. Поэтому $A_1A_4 \parallel A_2A_{p-1}$. Противоречие.
Выпуклый $p$-угольник ($p \geq 5$) разрезан по всем диагоналям. Докажите, что среди получившихся при этом частей найдутся части разной площади.
Решение:
Рассмотрим вершины $A_{p-1}, A_p, A_1, A_2, A_3$ и $A_4$ данного $р$-угольника. Проведем диагонали $A_1A_3, A_2A_4, A_pA_2, A_{p-1}A_2$. Пусть $B_1, B_2$ - точки пересечения диагонали $A_pA_2$ с $A_1A_4,$ и $A_1A_3$, а $B_4$, $B_3$ - точки пересечения $A_{p-1}A_2$ с теми же диагоналями. (Если $p = 5$, то $B_4 = A_4$.) Из равенства площадей следует, что $B_1B_2 = B_2A_2$ и $A_1B_2 = B_2B_3$. Поэтому $A_1A_4 \parallel A_2A_{p-1}$. Противоречие.
