Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3848
2019-06-16 
Рассмотрим все тетраэдры $AXBY$, описанные около данной сферы. Докажите, что при фиксированных точках $A$ и $B$ сумма углов пространственного четырехугольника $AXBY$, т. е. величина
$\angle AXB + \angle XBY + \angle BYA + \angle YAX$,
не зависит от выбора точек $X$ и $Y$.
Решение:
Пусть $A_1, B_1, X_1, Y_1$ - точки касания сферы с гранями $BXY, XYA, YAB, ABX$ соответственно. Тогда $\triangle XY_1B = \triangle XA_1B, \triangle AY_1X = \triangle AB_1X$ и т. д. Используя эти равенства, можно показать, что сумма углов пространственного четырехугольника $AXBY$ равна $\angle AY_1B + \angle AX_1B = 2 \angle AX_1B$ и убедиться, что $\angle AY_1B + \angle AX_1B$ не зависит от $X$ и $Y$.
Рассмотрим все тетраэдры $AXBY$, описанные около данной сферы. Докажите, что при фиксированных точках $A$ и $B$ сумма углов пространственного четырехугольника $AXBY$, т. е. величина
$\angle AXB + \angle XBY + \angle BYA + \angle YAX$,
не зависит от выбора точек $X$ и $Y$.
Решение:
Пусть $A_1, B_1, X_1, Y_1$ - точки касания сферы с гранями $BXY, XYA, YAB, ABX$ соответственно. Тогда $\triangle XY_1B = \triangle XA_1B, \triangle AY_1X = \triangle AB_1X$ и т. д. Используя эти равенства, можно показать, что сумма углов пространственного четырехугольника $AXBY$ равна $\angle AY_1B + \angle AX_1B = 2 \angle AX_1B$ и убедиться, что $\angle AY_1B + \angle AX_1B$ не зависит от $X$ и $Y$.
