2019-06-16
Докажите, что для любых положительных чисел $a_1, a_2, \cdots, a_n$ выполнено неравенство
$\frac{1}{a_1} + \frac{2}{a_1 + a_2} + \cdots + \frac {n}{a_1 + \cdots + a_n} < 4 \left ( \frac{1}{a_1} + \cdots + \frac{1}{a_n} \right )$.
Решение:
Можно считать, что $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$. Неравенство теперь следует из оценок:
$\frac{2}{a_1 + a_2} \leq \frac{1}{a_1}$,
$\frac {2k-1}{a_1 + a_2 + \cdots + a_{2k-1}} \leq \frac {2k-1}{a_k + \cdots + a_{2k-1}} \leq \frac {2k-1}{k \cdot a_{k-1}} < \frac{2}{a_{k-1}}$ при $2 \leq k \leq \frac{n+1}{2}$,
$\frac {2k}{a_1 + a_2 + \cdots + a_{2k}} \leq \frac {2k}{a_{k+1} + \cdots + a_{2k}} \leq \frac{2}{a_k}$.