Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3843
2019-06-16 
На плоскости дан правильный шестиугольник. Каждая его сторона разделена на 1000 равных частей, и точки деления соединены отрезками, параллельными сторонам шестиугольника. Выберем какие-либо три узла получившейся сетки, являющиеся вершинами правильного треугольника (любого размера и расположения), и окрасим их. Будем продолжать окрашивать таким способом тройки узлов до тех пор, пока это возможно. Докажите, что если неокрашенным останется один узел, то он не может быть вершиной исходного шестиугольника.
Решение:
Занумеруем узлы сетки числами 0, 1, 2 так, чтобы: а) в вершинах любого маленького треугольника стояли все три числа, б) в вершинах шестиугольника стояли цифры 0 и 1 (рис.). Сумма всех чисел, стоящих в узлах сетки, при делении на 3 дает в остатке 2. Пусть $P, Q, R$ - любой правильный треугольник с вершинами в узлах. Если в вершинах $P$ и $Q$ стоят одинаковые числа, то это же число стоит и в вершине $R$. Если в вершинах $P$ и $Q$ стоят разные числа, то в вершине $R$ стоит третье из чисел. В любом случае сумма чисел, стоящих в точках $P, Q$ и $R$, делится на 3. И, следовательно, в любой момент сумма чисел в еще непокрашенных узлах при делении на 3 дает в остатке 2.
На плоскости дан правильный шестиугольник. Каждая его сторона разделена на 1000 равных частей, и точки деления соединены отрезками, параллельными сторонам шестиугольника. Выберем какие-либо три узла получившейся сетки, являющиеся вершинами правильного треугольника (любого размера и расположения), и окрасим их. Будем продолжать окрашивать таким способом тройки узлов до тех пор, пока это возможно. Докажите, что если неокрашенным останется один узел, то он не может быть вершиной исходного шестиугольника.
Решение:
Занумеруем узлы сетки числами 0, 1, 2 так, чтобы: а) в вершинах любого маленького треугольника стояли все три числа, б) в вершинах шестиугольника стояли цифры 0 и 1 (рис.). Сумма всех чисел, стоящих в узлах сетки, при делении на 3 дает в остатке 2. Пусть $P, Q, R$ - любой правильный треугольник с вершинами в узлах. Если в вершинах $P$ и $Q$ стоят одинаковые числа, то это же число стоит и в вершине $R$. Если в вершинах $P$ и $Q$ стоят разные числа, то в вершине $R$ стоит третье из чисел. В любом случае сумма чисел, стоящих в точках $P, Q$ и $R$, делится на 3. И, следовательно, в любой момент сумма чисел в еще непокрашенных узлах при делении на 3 дает в остатке 2.
