2019-06-16
Докажите, что прямоугольную таблицу размером $m \times n$ клеток можно заполнить квадратами различных натуральных чисел так, чтобы суммы чисел в каждой строке и каждом столбце были также квадратами натуральных чисел.
Решение:
Пусть $a_1 < a_2 < \cdots < a_{n-1}$, где $a_1 \geq 3$ - нечетно, а остальные $a_i$ ($i = 2, \cdots, n - 1$) - четны. Пусть $a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_{n-1}^2 = 2k + 1$ и $a_n = k$. Тогда $a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 = (k+1)^2$. Рассмотрим также числа $b_1 < b_2 < \cdots < b_{m-1}$, где $b_1 > 2a_n$ нечетно, а $b_2, \cdots, b_{m-1}$ - четные, причем $b_{i+1} > b_ia_n$ и $b_m = S$, где $2S + 1 = b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_{m-1}^2$.
Требуемая таблица получается расстановкой в пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца чисел $a_i^2b_j^2$.