2019-06-16
Числа $1, 2, 3, \cdots, 2n-1, 2n$ разбиты на две группы по $n$ чисел в каждой. Пусть $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$ - числа первой группы, записанные в возрастающем порядке, и $a_1 > a_2 > a_n$ - числа второй группы в убывающем порядке. Докажите, что
$|a_1 - b_1| + |a_2 - b_2| + \cdots + |a_n - b_n| = n^2$.
Решение:
Каждое слагаемое $|a_k - b_k| (k = 1, 2, \cdots, n)$ равно разности числа, большего $n$, и числа, не превосходящего $n$. Поэтому
$|a_1 - b_1| + \cdots + |a_n - b_n| = (n + 1) + (n + 2)+ \cdots + 2n - (1 + 2 + \cdots + n) = n^2$.