Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3836
2019-06-16 
На плоскости проведено $n$ прямых ($n > 2$), делящих плоскость на несколько областей. Некоторые из этих областей окрашены, причем никакие две окрашенные области не могут соприкасаться по границе. Докажите, что число окрашенных областей не превосходит $\frac{1}{3} (n^2 + n)$.
Решение:
Если все данные прямые попарно параллельны, утверждение очевидно. Пусть $m_2, m_3, \cdots, m_k$ - количества окрашенных областей, имеющих $k$ сторон. Тогда $m_2 \leq n$. Кроме того, каждая прямая делится остальными не более чем на $n$ частей, так что общее количество частей прямых не больше $n^2$. Поэтому $2m_2 + 3m_3 + \cdots \leq n^2$. Наконец, $m_2 + m_3 + \cdots + m_k + \cdots \leq \frac{m_2}{3} + \frac {2m_2 + \cdots + k_{m_k}}{3} \leq \frac {n(n+1)}{3}$.
На плоскости проведено $n$ прямых ($n > 2$), делящих плоскость на несколько областей. Некоторые из этих областей окрашены, причем никакие две окрашенные области не могут соприкасаться по границе. Докажите, что число окрашенных областей не превосходит $\frac{1}{3} (n^2 + n)$.
Решение:
Если все данные прямые попарно параллельны, утверждение очевидно. Пусть $m_2, m_3, \cdots, m_k$ - количества окрашенных областей, имеющих $k$ сторон. Тогда $m_2 \leq n$. Кроме того, каждая прямая делится остальными не более чем на $n$ частей, так что общее количество частей прямых не больше $n^2$. Поэтому $2m_2 + 3m_3 + \cdots \leq n^2$. Наконец, $m_2 + m_3 + \cdots + m_k + \cdots \leq \frac{m_2}{3} + \frac {2m_2 + \cdots + k_{m_k}}{3} \leq \frac {n(n+1)}{3}$.
