2019-06-16
Последовательность $a_1, a_2, a_3, \cdots$ задается правилами: $a_{2n} = a_n$ при $n \geq 1$ и $a_{4n+1} = 1$, $a_{4n+3} = 0$ при $n \geq 0$. Докажите, что эта последовательность не имеет периода.
Решение:
Если $T = 2^r \cdot q$ ($q$ - нечетно) - период данной последовательности, то при $q = 4m + 3$ и $k \geq p + 2; 1 = a_2k = a_2k_{+T} = 0$. Противоречие. При $q = 4m + 1$: $1 = a_{2^k} = a_{2^k +3T} = 0$, что также приводит к противоречию.