Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3830
2019-06-16 
В строку в возрастающем порядке выписали $n$ различных действительных чисел. Под ними во вторую строку выписали те же числа, только, быть может, в другом порядке. Для каждой пары чисел, выписанных одно под другим, вычислили сумму. Эти суммы образовали третью строку. Оказалось, что числа в третьей строке также расположены в возрастающем порядке. Докажите, что первая строка совпадает со второй.
Решение:
Если в первой строке стоят числа $a_1 < a_2 < \cdots < a_m < a_{m+1} < \cdots a_n$, а вторая строка состоит из чисел $a_{k_1}, a_{k_2}, \cdots, a_{k_m}, a_{k_{m+1}}, \cdots, a_{k_n}$, то в третьей строке стоят числа $a_1 + a_{k_1}, a_2 + a_{k_2}, \cdots, a_m + a_{k_m}$. Пусть $a_1 \neq a_{k_1}$. Тогда $a_1 = a_{k_m}$ при некотором $m \geq 2$. По условию $a_1 + a_{k_1} < a_m + a_{k_m}$, $a_2 + a_{k_2} < a_m + a_2, \cdots, a_{m-1} + a_{k_{m-1}} < a_m + a_{k_m}$, откуда $a_{k_2} < a_m, a_{k_3} < a_m, \cdots, a_{k_{m-1}} < a_m$. Кроме того, $a_1 < a_m, a_{k_1} < a_m$. Мы нашли $m$ различных чисел, меньших $a_m$. Противоречие.
В строку в возрастающем порядке выписали $n$ различных действительных чисел. Под ними во вторую строку выписали те же числа, только, быть может, в другом порядке. Для каждой пары чисел, выписанных одно под другим, вычислили сумму. Эти суммы образовали третью строку. Оказалось, что числа в третьей строке также расположены в возрастающем порядке. Докажите, что первая строка совпадает со второй.
Решение:
Если в первой строке стоят числа $a_1 < a_2 < \cdots < a_m < a_{m+1} < \cdots a_n$, а вторая строка состоит из чисел $a_{k_1}, a_{k_2}, \cdots, a_{k_m}, a_{k_{m+1}}, \cdots, a_{k_n}$, то в третьей строке стоят числа $a_1 + a_{k_1}, a_2 + a_{k_2}, \cdots, a_m + a_{k_m}$. Пусть $a_1 \neq a_{k_1}$. Тогда $a_1 = a_{k_m}$ при некотором $m \geq 2$. По условию $a_1 + a_{k_1} < a_m + a_{k_m}$, $a_2 + a_{k_2} < a_m + a_2, \cdots, a_{m-1} + a_{k_{m-1}} < a_m + a_{k_m}$, откуда $a_{k_2} < a_m, a_{k_3} < a_m, \cdots, a_{k_{m-1}} < a_m$. Кроме того, $a_1 < a_m, a_{k_1} < a_m$. Мы нашли $m$ различных чисел, меньших $a_m$. Противоречие.
