2019-06-16
По кругу записаны $n \geq 3$ натуральных чисел так, что для каждого числа отношение суммы его соседей к нему является натуральным числом. Докажите, что сумма всех таких отношений; а) не меньше $2n$; б) меньше $3n$.
Решение:
Пусть $a_1, a_2, \cdots, a_n$ - данные числа и
$S_n = \frac{a_n + a_2}{a_1} + \frac{a_1 + a_2}{a_2} + \cdots + \frac{a_{n-1} + a_1}{a_n}$.
а) $S_n = \left ( \frac{a_2}{a_1} + \frac{a_1}{a_2} \right ) + \cdots + \left ( \frac{a_1}{a_n} + \frac{a_n}{a_1} \right ) \geq 2n$.
б) Неравенство $S_n \leq 3n$ доказывается по индукции. Для: этого следует сначала рассмотреть случай $n = 3$ и заметить, что наибольшее из чисел $a_1, a_2, \cdots, a_n$ равно сумме своих соседей.