2019-06-16
В бесконечном десятичном разложении действительного числа а встречаются все цифры. Пусть $v_n$ - количество различных цифровых отрезков длины $n$, встречающихся в этом разложении. Докажите, что если для некоторого $n$ выполнено условие $v_n \leq n + 8$, то число $a$ рационально.
Решение:
Ясно, что $v_1 = 10$ и $v_n \leq v_{n+1}$. Если $v_n = v_{n+1}$ при каком-нибудь $n$, то дробь периодична. Если $v_{n+1} > v_n$ при всех $n$, то $v_n \geq v_{n-1} + 1 \geq v_{n-2} + 2 \geq \dots \geq v_1 + n - 1 = n + 9 > n + 8$.