Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3827
2019-06-16 
Множество $M$ состоит из $k$ попарно не пересекающихся отрезков, лежащих на одной прямой. Известно, что любой отрезок длины, не большей 1, можно расположить на прямой так, чтобы концы его принадлежали множеству $M$. Докажите, что сумма длин отрезков, составляющих $M$, не меньше $1/k$.
Решение:
Если на прямой даны непересекающиеся отрезки $\Delta_1$ и $\Delta_2$ с длинами $\alpha$ и $\beta$, то множество длин отрезков с концами, принадлежащими $\Delta_1$ и $\Delta_2$, заполняет некоторый отрезок длины $\alpha + \beta$. Поэтому если $\delta_1, \delta_2, \cdots, \delta_k$ - длины данных отрезков, то $\delta_1 + (\delta_1 + \delta_2) + (\delta_1 + \delta_3) + \cdots + (\delta_1 + \delta_k) + \cdots + (\delta_{k-1} + \delta_k) + \delta_k = k(\delta_1 + \delta_2 + \cdots + \delta_k) \geq 1$.
Множество $M$ состоит из $k$ попарно не пересекающихся отрезков, лежащих на одной прямой. Известно, что любой отрезок длины, не большей 1, можно расположить на прямой так, чтобы концы его принадлежали множеству $M$. Докажите, что сумма длин отрезков, составляющих $M$, не меньше $1/k$.
Решение:
Если на прямой даны непересекающиеся отрезки $\Delta_1$ и $\Delta_2$ с длинами $\alpha$ и $\beta$, то множество длин отрезков с концами, принадлежащими $\Delta_1$ и $\Delta_2$, заполняет некоторый отрезок длины $\alpha + \beta$. Поэтому если $\delta_1, \delta_2, \cdots, \delta_k$ - длины данных отрезков, то $\delta_1 + (\delta_1 + \delta_2) + (\delta_1 + \delta_3) + \cdots + (\delta_1 + \delta_k) + \cdots + (\delta_{k-1} + \delta_k) + \delta_k = k(\delta_1 + \delta_2 + \cdots + \delta_k) \geq 1$.
