Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3826
2019-06-16 
Докажите, что среди любых $2m + 1$ различных целых чисел, не превосходящих по модулю $2m - 1$, можно найти три числа, сумма которых равна 0.
Решение:
Индукция по $m$: при $m = 1$ утверждение правильно. Пусть оно верно для $m = k - 1 (k \geq 2)$. Рассмотрим любое множество $A$, состоящее из $2k + 1$ чисел, не больших $2k - 1$ по модулю. Если среди них найдутся $2k - 1$ чисел, не превосходящих по модулю $2k - 3$, то все ясно. В противном случае можно считать, что в $А$ либо содержатся числа $2k-1, 2k - 2$ и $-2k + 1$, либо $2k- 1, 2k - 2$ и $-2k - 2$. В первом случае следует рассмотреть пары $(1; 2k - 2), (2; 2k - 3), \cdots, (k - 1, к)$ и $(0, - 2k + 1), (-1, -2k + 2), \cdots, (- k + 1, - k)$. Хотя бы одна пара состоит из чисел, входящих в $A$. Во втором случае аналогично рассматриваются пары $(1, 2k - 3), \cdots, (k - 2k)$ и $(0, -2k + 1), (-1, -2k), \cdots, (-k + 1, -k)$.
Докажите, что среди любых $2m + 1$ различных целых чисел, не превосходящих по модулю $2m - 1$, можно найти три числа, сумма которых равна 0.
Решение:
Индукция по $m$: при $m = 1$ утверждение правильно. Пусть оно верно для $m = k - 1 (k \geq 2)$. Рассмотрим любое множество $A$, состоящее из $2k + 1$ чисел, не больших $2k - 1$ по модулю. Если среди них найдутся $2k - 1$ чисел, не превосходящих по модулю $2k - 3$, то все ясно. В противном случае можно считать, что в $А$ либо содержатся числа $2k-1, 2k - 2$ и $-2k + 1$, либо $2k- 1, 2k - 2$ и $-2k - 2$. В первом случае следует рассмотреть пары $(1; 2k - 2), (2; 2k - 3), \cdots, (k - 1, к)$ и $(0, - 2k + 1), (-1, -2k + 2), \cdots, (- k + 1, - k)$. Хотя бы одна пара состоит из чисел, входящих в $A$. Во втором случае аналогично рассматриваются пары $(1, 2k - 3), \cdots, (k - 2k)$ и $(0, -2k + 1), (-1, -2k), \cdots, (-k + 1, -k)$.
