Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3825
2019-06-16 
Внутри треугольника $ABC$ выбрана произвольная точка $О$. Докажите, что справедливо равенство $S_A \cdot \vec {OA} + S_B \cdot \vec {OB} + S_C \cdot \vec {OC} = 0$, где $S_A, S_B, S_C$ - площади треугольников $BCO, CAO, ABO$ соответственно.
Решение:
Пусть $\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3$ - единичные векторы, сонаправленные с векторами $\vec{OA}, \vec {OB}, \vec {OC}; \angle BOC = \alpha, \angle COA = \beta, \angle AOB = \gamma$. Достаточно доказать, что $\vec{e}_1 \sin \alpha + \vec{e}_2 \sin \beta + \vec{e}_3 \sin \gamma = 0$. Для этого следует рассмотреть треугольник $PQR$, стороны которого соответственно параллельны $OA, OB$ и $OC$, и воспользоваться равенством $\vec {PQ} + \vec {PR} + \vec {QP} = 0$.
Внутри треугольника $ABC$ выбрана произвольная точка $О$. Докажите, что справедливо равенство $S_A \cdot \vec {OA} + S_B \cdot \vec {OB} + S_C \cdot \vec {OC} = 0$, где $S_A, S_B, S_C$ - площади треугольников $BCO, CAO, ABO$ соответственно.
Решение:
Пусть $\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3$ - единичные векторы, сонаправленные с векторами $\vec{OA}, \vec {OB}, \vec {OC}; \angle BOC = \alpha, \angle COA = \beta, \angle AOB = \gamma$. Достаточно доказать, что $\vec{e}_1 \sin \alpha + \vec{e}_2 \sin \beta + \vec{e}_3 \sin \gamma = 0$. Для этого следует рассмотреть треугольник $PQR$, стороны которого соответственно параллельны $OA, OB$ и $OC$, и воспользоваться равенством $\vec {PQ} + \vec {PR} + \vec {QP} = 0$.
