Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3824
2019-06-16 
Величины $\alpha$ и $\beta$ двух острых углов удовлетворяют равенству $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \sin (\alpha + \beta)$. Докажите, что $\alpha + \beta = \frac{ \pi}{2}$.
Решение:
Из условия следует, что $\sin \alpha (\sin \alpha - \cos \beta) = \sin \beta (\cos \alpha - \sin \beta)$. Если $\sin \alpha > \cos \beta$ и $\cos \alpha > \sin \beta$, то $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta < 1$. Неравенства $\sin \alpha < \cos \beta$, $\cos \alpha < \sin \beta$ также невозможны. Поэтому $\sin \alpha = \cos \beta, \cos \alpha = \sin \beta$.
Величины $\alpha$ и $\beta$ двух острых углов удовлетворяют равенству $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \sin (\alpha + \beta)$. Докажите, что $\alpha + \beta = \frac{ \pi}{2}$.
Решение:
Из условия следует, что $\sin \alpha (\sin \alpha - \cos \beta) = \sin \beta (\cos \alpha - \sin \beta)$. Если $\sin \alpha > \cos \beta$ и $\cos \alpha > \sin \beta$, то $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta < 1$. Неравенства $\sin \alpha < \cos \beta$, $\cos \alpha < \sin \beta$ также невозможны. Поэтому $\sin \alpha = \cos \beta, \cos \alpha = \sin \beta$.
