2019-06-16
Натуральное число $k$ в десятичной записи имеет $n$ знаков. Это число округлили с точностью до десятков, заменив последнюю цифру нулем и увеличив на единицу число десятков, если эта последняя цифра была больше четырех. Полученное число аналогичным образом округлили с точностью до сотен и так далее. В результате последнего $(n - 1)$-го округления получилось число $\tilde{k}$. Докажите, что $\tilde{k} < 18k/13$.
Решение:
Если $k \geq a \underbrace{44 \cdots 45}_{n - 2}$, ($a \geq 1$ - первая цифра), то
$\bar {k} = (a + 1) \cdot 10^{n-1}$ и $\frac{ \bar {k}}{k} \leq \frac {(a+1) 10^{n-1}}{a \underbrace{44 \cdots 45}_{n-1} } < \frac {a+1}{a + \frac{4}{9}} \leq \frac{18}{13}$.
Если $k \leq \underbrace{a44 \cdots 4}_{n - 1}$, то $\bar {k} = a10^{n-l}$ и $\frac{ \bar {k}}{k} \leq 1$.